Έστω τετράπλευρο $ABCD$ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $1$. Αν
$AB\cdot{BC}\cdot{CD}\cdot{DA} ≥ 4$
να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο .
Indian Mathematical Olympiad 1998
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com 
Ωραίο πρόβλημα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΤα εγγράψιμα σε κύκλο τετράπλευρα μυρίζουν «Θεώρημα /ανισότητα του Πτολεμαίου».
Αυτή μας λέει ότι για κάθε τετράπλευρο ABCD ισχύει ΑΒ*CD+ AD*BC >=AC*BD
To άθροισμα των γινομένων των απέναντι πλευρών είναι μεγαλύτερο ή ίσο (αν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο!) από το γινόμενο των διαγωνίων.
Οι δύο διαγώνιες όμως του τετραπλεύρου μπορεί να είναι το πολύ ίση με τη διάμετρο=2 η καθεμία. Άρα έχουμε: AC*BD <= 2*2 ή AC*BD <= 4 (α)
Από τη γνωστη ανισότητα Αριθμητικου και Γεωμετρικου μεσου όμως έχουμε:
ΑΒ*ΒC*CD*DA <= (AB*CD +AD*BC)/2)^2 (β)
Από τις (α) και (β) προκύπτει: ΑΒ*ΒC*CD*DA<=4 (γ)
Αλλά η (γ) για να συναληθεύει με τα δεδομένο της εκφωνησης ΑΒ*ΒC*CD*DA>=4 θα πρέπει να ισχύει ΜΟΝΟ η ισότητα. Άρα ΑC=BD=2 (διάμετροι) (δ)
Αυτό σημαίνει ότι το ΑΒCD είναι ορθογώνιο ,άρα ΑΒ=CD και ΒC=AD (ε)
Άρα από τα δ και ε προκύπτει: AB=ΒC=CD=DA , άρα το ΑΒCD είναι τετράγωνο.