Παρασκευή 4 Ιανουαρίου 2013

▪ Γεωμετρία - Άσκηση 446

$9$ σημεία είναι τοποθετημένα στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς $1$. 
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 3 σημεία, τέτοια ώστε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν να μην είναι μεγαλύτερο του $\frac{1}{8}$.
1st Balkan Junior Mathematical Olympiad 1997
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Αναρτήθηκε από στις 4.1.13
Ετικέτες , , ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS4 Ιανουαρίου 2013 στις 4:00 μ.μ.

    Ωραίο πρόβλημα γεωμετρικής πιθανότητας.
    Πιθανώς να υπάρχει και απόδειξη «αλγεβρική-αναλυτική» αλλά το καλύτερο που σκέφτηκα ,και εντελώς απλό, είναι η πολύ χρήσιμη (και παραγνωρισμένη έως εντελώς άγνωστη στο εκπαιδευτικό μας σύστημα, αν κάνω λάθος παρακαλώ διορθώστε με!) «Αρχή του περιστερώνα» του Nτίριχλετ.
    Με βάση αυτή την απλή αρχή, αν μοιράσουμε το μοναδιαίο τετράγωνο σε 4 ίσα τμήματα (το πώς ακριβώς, δεν επηρεάζει τη γενικότητα. Ας πούμε απλά σε 4 ορθογώνια παραλληλόγραμμα εμβαδού 1 Χ(1/4) το καθένα) θα υπάρχει αναγκαστικά ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένα τμήμα που περιέχει [9 πάνω στο 4] σημεία ,δηλαδή 3 σημεία.
    (αν δεν υπήρχε έστω 1 τμήμα τέτοιο ,είναι προφανές ότι τα σημεία ΤΟ ΠΟΛΥ θα ήταν 2 Χ 4=8 και όχι 9)
    Το παραλληλόγραμμο λοιπόν που περιέχει 3 σημεία έχει εμβαδόν ¼ . Τρία σημεία όμως ενός ορθογωνίου ορίζουν τρίγωνο που ΤΟ ΠΟΛΥ έχει εμβαδόν = ½ Χ Εμβαδόν ορθογ. = ½ *1/4= 1/8. Όπερ έδει δείξαι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)