▪ Η Άσκηση του Μήνα - Ιανουάριος 2013

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Για τη συνεχή συνάρτηση $f:R\to R$ ισχύει

$f(x)={\int }_0^x(3x{t}^2-4)dt+{\int }_x^{x+2}f(t-x)dt-\frac{2}{5}$

για κάθε $x\in R$.

i) Nα αποδείξετε ότι

$f(x)=x^4-4x+2$, $x\in R$.

ii) Nα βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του $k\in R$, για την οποία ισχύει $f(x)\ge k$, για κάθε $x\in R$.

iii) Nα αποδείξετε ότι για κάθε $\alpha ,\beta ,\gamma >0$, ισχύει

$\frac{{\alpha }^3}{{\beta }^4}+\frac{{\beta }^3}{{\gamma }^4}+\frac{{\gamma }^3}{{\alpha }^4}\ge \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }$.

iv) Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $g,h:R\to R$ για τις οποίες ισχύουν

$g(0)+1=g^{\prime }(0)=1$

και

$2f(g^{\prime }(x)-h(x))+3f(h^{\prime }(x)-g(x))+5=0$, 

για κάθε $x\in R$.

Nα αποδείξετε ότι

$g(x)=h(x)=e^x-1$, $x\in R$.

v) Aν η συνάρτηση $\phi :R\to R$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=0$ με $\phi (0)=0$, ${\phi }^{\prime }(0)=2$, τότε

α) να δείξετε ότι $\phi (x)\ne 0$, κοντά στο $x_0=0$

β) να βρείτε το όριο

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{g(\phi (x))-\phi (x)}{x^2}}$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ για να το εκτυπώσετε και εδώ (pdf ή docx) για να δείτε τη λύση.