▪ Η Άσκηση του Μήνα - Ιανουάριος 2013

 Του Νίκου Ζανταρίδη                                                            

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Για τη συνεχή συνάρτηση $f:R\rightarrow{R}$ ισχύει

$f(x)=\int_0^{x}(3xt^{2}-4)dt+\int_x^{x+2}f(t-x)dt-\frac{2}{5}$

για κάθε $x\in{R}$.

i) Nα αποδείξετε ότι

$f(x)=x^4-4x+2$, $x\in{R}$.

ii) Nα βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του $k\in{R}$, για την οποία ισχύει $f(x)\geq{k}$, για κάθε $x\in{R}$.

iii) Nα αποδείξετε ότι για κάθε $α,β,γ>0$, ισχύει

$\frac{α^3}{β^4}+ \frac{β^3}{γ^4}+ \frac{γ^3}{α^4}\geq{\frac{1}{α}+ \frac{1}{β}+ \frac{1}{γ}}$.

iv) Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $g,h:R\rightarrow{R}$ για τις οποίες ισχύουν

$g(0)+1=g'(0)=1$

και

$2f(g'(x)-h(x))+3f(h'(x)-g(x))+5=0$, 

για κάθε $x\in{R}$.

Nα αποδείξετε ότι

$g(x)=h(x)=e^x-1$, $x\in{R}$.

v) Aν η συνάρτηση $φ:R\rightarrow{R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=0$ με $φ(0)=0$, $φ'(0)=2$, τότε

α) να δείξετε ότι $φ(x)\neq0$, κοντά στο $x_0=0$

β) να βρείτε το όριο

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{g(φ(x))-φ(x)}{x^2}$.

 Το 4ο Θέμα των Πανελλαδικών εξετάσεων                               

Κάντε κλικ εδώ για να το εκτυπώσετε και εδώ (pdf ή docx) για να δείτε τη λύση.