Τετάρτη 19 Δεκεμβρίου 2012

▪ Πιο κεντρικά

Ποια είναι η πιθανότητα η απόσταση ενός σημείου, που επιλέγεται τυχαία στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου, να είναι πλησιέστερα προς το κέντρο του ορθογωνίου, από την απόσταση του από οποιαδήποτε από τις κορυφές του;
α) $75$%       β) $50$%       γ) $25$%       δ) $67$%
Αναρτήθηκε από στις 19.12.12
Ετικέτες ,

3 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS19 Δεκεμβρίου 2012 στις 3:30 μ.μ.

    O Γεωμετρικός τόπος των σημείων του τετραγώνου που απέχουν λιγότερο από το κέντρο του (σημείο τομής των διαγωνίων) απότι από τις κορυφές είναι ένα τετράγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο αυτό το κέντρο και ακτίνα ρ=μισό της μισής διαγωνίου. Η διαγώνιος είναι α*ρίζ.2 (όπου α η πλευρά του τετραγώνου).Άρα ρ=α*ριζ2/4. Αυτή είναι και η μισή πλευρά του περιγεγραμμένου τετραγώνου . Οι τέσσερις κορυφές του ,βρίσκονται στα μέσα των πλευρών του μεγάλου τετραγώνου και οι πλευρές του είναι κοινές εφαπτόμενες του κεντρικού κύκλου. και των τεσσάρων κύκλων που μπορούμε να φέρουμε με κέντρα τις κορυφές του μεγάλου τετραγώνου και ακτίνα = ρ= α*ριζα2/4. (Δεν είναι εύκολη η Γεωμετρία με λόγια,αλλά προσπάθησα)
    H ευνοϊκή πιθανότητα που ψάχνουμε είναι ο λόγος του ευνοϊκού εμβαδού(του μικρού τετραγώνου) προς το ολικό εμβαδόν (α^2) του τετραγώνου.
    Ή (α*ρίζα2/2)^2 / α^2 = (2* α^2/4)/α^2= 1/2 = 50%.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS19 Δεκεμβρίου 2012 στις 9:50 μ.μ.

    H αρχική μου λύση είναι λάθος.
    Θα χρησιμοποιήσω λίγη αναλυτική Γεωμετρία.
    Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε το κέντρο του τετραγώνου στην αρχή των αξόνων (0,0) και το τετράγωνο μοναδιαίο ,άρα οι κορυφές του είναι στα (±1, ±1)
    Ένα τυχαιο σημειο με συντεταγμενες (χ,ψ) του τετραγωνου βρισκεται κοντυτερα στο κεντρο απότι στην πάνω πλευρα του τετραγωνου εάν ισχύει : √(χ^2 + ψ^2) ≤ 1-ψ (α)
    (√(χ^2 + ψ^2)= η απόσταση σημείου από το (0,0)
    Η (α) γίνεται χ^2 + ψ^2 ≤ (1-ψ)^2 και ψ ≤ (1-χ^2)/2 (β)
    Η (β) είναι εξίσωση παραβολής (αναμενόμενο μια και η παραβολή εκφραζει εξ ορισμού της σαν κωνική τομή την ισαπόσταση μεταξυ σημειου και ευθειας) ή για την ακρίβεια σαν ανισότητα εκφραζει το εμβαδόν κάτω από αυτήν την παραβολή.
    Ομοιως έχουμε και τις υπολοιπες τρεις (συμμετρικές) παραβολές που οριζουν αντιστοιχες και αναλογες σχεσεις ως προς τις άλλες πλευρές. Το ευνοικο εμβαδον/γεωμετρικος τοπος που ψαχνουμε αρα είναι η τομη αυτων των 4 καμπυλών παραβολής. Ή αλλιως (για να μας βολευει παρακατω στις εξισωσεις) η Ένωση 8 ίδιων τομέων(περιοχών) που οριζονται από τις 4 παραβολές , τους καρτεσιανους αξονες και τις διαγωνιες του τετραγωνου.
    Η περιοχή αυτή, έστω Π οριοθετείται από χ≥0, ψ≥χ και ψ ≤ (1-χ^2)/2 (όπως βρηκαμε ηδη στο (β)) Οι καμπύλες όμως ψ=χ και ψ ≤ (1-χ^2)/2 τέμνονται στο σημείο (χ,ψ)= (√2 -1, √2 -1)
    Ετσι, η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
    (8*Π/Ε)= 2*Π = 2*∫(από 0 έως √2 -1) ((1-χ^2)/2)-χ) dχ= (4*√2 – 5)/3 = περίπου 0,22 ,άρα η σωστή απάντηση είναι 25%

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Unknown20 Ιανουαρίου 2013 στις 11:43 μ.μ.

    ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
    Εστω ΑΒΓΔ το ορθογώνιο με ΑΒ,ΔΓ >ΒΓ,ΑΔ και Ο το κέντρο αυτού και Ο1 και Ο2 τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα.
    Κατασκευάζω τις διαγώνιες ΑΟΓ και την ΔΟΒ και την Ο1,Ο,Ο2.
    Στα μέσα των ΟΑ,ΟΒ,ΟΓ και ΟΔ φέρνω καθέτους που τέμνουν την ΑΒ στα σημεία Α1,Β1 την ΓΔ στα Γ1,Γ2 και την Ο1Ο2 στα Α2,Β2. Το εξάπλευρο Α1Β1Β2Γ1Γ2Α2 είναι ο ευνοικος(?), είναι ο χώρος του οποίου τα σημεία απέχουν λιγότερο ή ίσο από ότι από την πλησιέστερη κορυφή, (πόσο μάλλον από τις άλλες) και το ΑΒΓΔ είναι ο δειγματικός(?), τέλος πάντων είναι το σύνολο των ενδεχομένων.
    Η πιθανότητα Π=Εμβ(Α1Β1Β2Γ1Γ2Α2)/Εμβ(ΑΒΓΔ)
    Το εξάπλευρο Α1Β1Β2 Γ1Γ2Α2 αποτελείται από 4μ ίσα ορθογώνια τραπέζια επίσης ίσα με τα υπόλοιπα 4 ορθογώνια τραπέζια που όλα μαζί αποτελούν το ορθογώνιο ΑΒΓΔ
    Συνεπώς Π = Εμβ(Α1Β1Β2Γ1Γ2Α2)/Εμβ(ΑΒΓΔ)=1/2
    Άρα η ζητούμενη πιθανότητα ισούται ή ακριβέστερα τείνει στο 50%
    ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 Η πιθανότητα θα ήταν 50% στην περίπτωση που ισχύει και το “ίσον” μαζί με το “πλησιέστερον” στις αποστάσεις των σημείων.

    ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2 ΑΝ ΗΤΑΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση που αντί για ορθογώνιο έχουμε τετράγωνο.
    Με την διαφορά ότι τα σημεία για τα οποία ζητάμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα σχηματίζουν εγγεγραμμένο τετράγωνο στο αντίστοιχο ΑΒΓΔ., το οποίο έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών του μεγάλου τετραγώνου
    Και εδώ το εμβαδόν του ευνοικού χώρου, ή όπως αλλιώς λέγεται, του μικρού δηλαδή τετραγώνου είναι ολοφάνερα το μισό του εμβαδού του μεγάλου.
    Και εδώ η ζητούμενη πιθανότητα τείνει στο 50%

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)