Ένας βαρκάρης ξεκινά με τη βάρκα του να κωπηλατεί, αντίθετα στο ρεύμα ενός ποταμού, από ένα σημείο $Α$. Την ώρα που καλύπτει το πρώτο χιλιόμετρο, του πέφτει στο ποτάμι το καπέλο, χωρίς να το αντιληφθεί.
Αφού κωπηλατήσει για $10$ λεπτά ακόμη, καταλαβαίνει ότι είναι ασκεπής και επιστρέφει να βρει το καπέλο. Κωπηλατώντας τώρα με βοηθό το ρεύμα του ποταμού, προλαβαίνει το καπέλο στο σημείο απ' όπου ξεκίνησε. Να βρεθεί η ταχύτητα του ρεύματος του ποταμού. Ταχύτητες σταθερές. (Από αμερικάνικο site με προβλήματα).
Πηγή: mathematica
Εφόσον η βάρκα έχει σταθερή ταχύτητα (σταθερή φαινόμενη σε εμάς δηλαδή =σε σχέση με την ταχύτητα του ρεύματος!) έκανε 20 λεπτά (10 κόντρα στο ρεύμα + 10 σύμφωνα με το ρεύμα) από τη στιγμή που συνάντησε το φελλό να ξαναφτάσει στο ίδιο σημείο συνάντησης με το φελλό ,δηλαδή στο σημείο εκκίνησης, την ίδια ώρα ταξίδεψε ο φελλός από το αρχικό σημείο συνάντησης στην εκκίνηση που αντιστοιχεί σε 1 Km. Εναλλακτικά (πιο εποπτικά ίσως..) αρκεί κάποιος να σκεφτεί, ότι αν δεν υπήρχε ρεύμα το καπέλο θα ήταν ακίνητο και ο βαρκάρης θα έκανε 10 και 10= 20 λεπτά να το ξαναφτάσει στο ίδιο σημείο αρχικής συνάντησης.
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα ταχύτητα καπέλου= ταχύτητα ρεύματος (εξ ορισμού)= 1km/20λεπτά =3χιλ/ώρα
«Επιστημονική» λύση(παντελώς περιττή όμως)ως εξής :
Έστω Vρ= ταχύτητα ρεύματος (άρα και καπέλου) και Vβ= η «καθαρή» ταχύτητα βάρκας.
Αρχικά διανυει 1Km κόντρα στο ρεύμα με φαινόμενη ταχύτητα Vβ-Vρ και συναντάει το καπέλο. Από αυτή τη χρονική στιγμή το καπέλο(ρεύμα) διανύει 1Km(μέχρι την εκκίνηση) σε χρόνο έστω t
Άρα Vρ= s/t= 1/t ή t=1/ Vρ (1)
Ο ίδιος χρόνος t για τον κολυμβητή αντιστοιχεί σε:
(1/6)+ 1/(Vκ+Vρ) +(1/6)*(Vκ-Vρ)*1/(Vκ+Vρ) (2)
Άρα εξισώνοντας τις (1) και (2) έχουμε: 1/Vρ=(1/6)+ 1/(Vκ+Vρ) +(Vκ-Vρ)/(6*(Vκ+Vρ))Αυτή τελικά γίνεται: ((Vρ-3)Vβ)/ (Vρ*(Vρ+Vβ)) = 0
ή (1/Vρ)=(Vβ+3)/(3*(Vρ+Vβ)
Μια λύση είναι Vβ=0 (που δεν μπορεί να ισχύει) για Vρ διάφορο από το 0.
Άρα αναγκαστικά (για Vβ > 0) μοναδική λύση : Vρ=3 (Km/h)
YΓ. Το ίδιο ακριβώς (επί της ουσίας, άλλαζε μόνο ο χρόνος και επομένως ελαφρως οι εξισωσεις) πρόβλημα, με φελλό στη θέση του καπέλου, και κολυμβητή στη θέση της βάρκας δημοσίευσε πρόσφατα ο κος Ντε Γκράντι στο ιστολόγιό του.