▪ Γεωμετρία - Άσκηση 424

Έστω ${\rm A}$ και ${\rm B}$ τα σημεία τομής των κύκλων $C_1:({{\rm O}}_1,{\rho }_1)$ και $C_2:({{\rm O}}_2,{\rho }_2)$ με ${\rho }_1<{\rho }_2$ και $\angle O_{1}A{O}_2={90}^0$. Η ευθεία ${{\rm O}}_1{{\rm O}}_2$ τέμνει τον κύκλο $C_1$ στα σημεία $C$ και $D$ και τον κύκλο $C2$ στα σημεία $E$ και $F$. Το σημείο ${\rm E}$ βρίσκεται μεταξύ των σημείων $C$ και $D$ και το σημείο $D$ μεταξύ των σημείων ${\rm E}$ και $F$. Η ${\rm B}{\rm E}$ τέμνει τον κύκλο $C_1$ στο σημείο ${\rm K}$ και την $AC$ στο σημείο ${\rm M}$, ενώ η $BD$ τέμνει τον κύκλο $C_2$ στο σημείο $L$ και την $AF$ στο ${\rm N}$. Να αποδείξετε ότι

${\displaystyle \frac{KE}{KM}}\cdot {\displaystyle \frac{LN}{LD}}={\displaystyle \frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}$.

12th Balkan Mathematical Olympiad 1995

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com