▪ Μετρικές σχέσεις: Βασικοί γεωμετρικοί τόποι (ΙΙ)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 

Έστω ${\rm A},{\rm B}$ δυο σταθερά σημεία και $k$ ένα σταθερό τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, για τα οποία η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα ${\rm A},{\rm B}$ ισούται με $k^2$.

Λύση
Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα (για ${\rm A}{\rm M}>{\rm B}{\rm M}$) είναι

${\rm A}{{\rm M}}^2-{\rm B}{{\rm M}}^2=k^2$       (1).

Έστω ${\rm O}$ το μέσο του ${\rm A}{\rm B}$ και ε η ευθεία ${\rm M}{\rm H}\perp {\rm A}{\rm B}$ όπου ${\rm H}$ προβολή του ${\rm M}$ πάνω στην ${\rm A}{\rm B}$. Από το 2ο θεώρημα των διαμέσων έχουμε ότι

${\rm A}{{\rm M}}^2-{\rm B}{{\rm M}}^2=2{\rm A}{\rm B}\cdot {\rm O}{\rm H}$

$k^2=2{\rm A}{\rm B}\cdot OH$

$OH=\frac{k^2}{AB}$.

Η ισότητα αυτή δείχνει ότι το τμήμα ${\rm O}{\rm H}$ είναι σταθερό. Παρατηρούμε ότι η προβολή του ${\rm M}$ πάνω στο ${\rm A}{\rm B}$ είναι σταθερή, άρα το ${\rm M}$ βρίσκεται στην ευθεία $\epsilon \perp {\rm A}{\rm B}$ στο σημείο ${\rm H}$, όπου $\frac{k^2}{AB}$ και βρίσκεται μεταξύ των σημείων ${\rm O},{\rm B}$.

Αντίστροφα. Έστω σημείο ${\rm H}$ μεταξύ των ${\rm O},{\rm B}$ τέτοιο, ώστε $\frac{k^2}{AB}$. Από το ${\rm H}$ φέρουμε την κάθετη ευθεία $\epsilon$ στην ${\rm A}{\rm B}$ και έστω ${\rm M}$ τυχαίο σημείο της $\epsilon$. Θα αποδείξουμε ότι το ${\rm M}$ είναι σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Πράγματι από το 2ο

θεώρημα διαμέσων έχουμε

$A{M}^2-B{M}^2=2AB\cdot OH=2AB\cdot \frac{k^2}{2AB}=k^2$. 

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η $\epsilon$.
Διερεύνηση. Αν $k=0$ είναι $M{A}^2-M{B}^2=0$ ή ${\rm M}{\rm A}={\rm M}{\rm B}$, οπότε το ${\rm M}$ ισαπέχει από τα σημεία ${\rm A},{\rm B}$. Τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ${\rm A}{\rm B}$.