▪ Μετρικές σχέσεις: Βασικοί γεωμετρικοί τόποι (ΙΙ)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 

Έστω $Α, Β$ δυο σταθερά σημεία και $k$ ένα σταθερό τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, για τα οποία η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τα $Α, Β$ ισούται με $k^2$.

Λύση
Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα (για $ΑΜ > ΒΜ$) είναι

$ΑΜ^2 - ΒΜ^2 = k^2$       (1).

Έστω $Ο$ το μέσο του $ΑΒ$ και ε η ευθεία $ΜΗ ⊥ ΑΒ$ όπου $Η$ προβολή του $Μ$ πάνω στην $ΑΒ$. Από το 2ο θεώρημα των διαμέσων έχουμε ότι

$ΑΜ^2 - ΒΜ^2 = 2ΑΒ\cdot{ΟΗ}$

$k^2 = 2ΑΒ\cdot{OH}$

$OH=\frac{k^2}{AB}$.

Η ισότητα αυτή δείχνει ότι το τμήμα $ΟΗ$ είναι σταθερό. Παρατηρούμε ότι η προβολή του $Μ$ πάνω στο $ΑΒ$ είναι σταθερή, άρα το $Μ$ βρίσκεται στην ευθεία $ε ⊥ ΑΒ$ στο σημείο $Η$, όπου $\frac{k^2}{AB}$ και βρίσκεται μεταξύ των σημείων $Ο, Β$.

Αντίστροφα. Έστω σημείο $Η$ μεταξύ των $Ο, Β$ τέτοιο, ώστε $\frac{k^2}{AB}$. Από το $Η$ φέρουμε την κάθετη ευθεία $ε$ στην $ΑΒ$ και έστω $Μ$ τυχαίο σημείο της $ε$. Θα αποδείξουμε ότι το $Μ$ είναι σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Πράγματι από το 2ο

θεώρημα διαμέσων έχουμε

$AM^2-BM^2=2AB\cdot{OH}=2AB\cdot{\frac{k^2}{2AB}}=k^2$. 

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η $ε$.
Διερεύνηση. Αν $k = 0$ είναι $MA^2 - MB^2 = 0$ ή $ΜΑ = ΜΒ$, οπότε το $Μ$ ισαπέχει από τα σημεία $Α,Β$. Τότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος $ΑΒ$.