▪ Μετρικές σχέσεις: Βασικοί γεωμετρικοί τόποι (Ι)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 

Έστω $Α, Β$ δύο σταθερά σημεία και $k$ ένα δοσμένο τμήμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων, των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα $Α, Β$ ισούται με $k^2$.

Λύση Έστω Μ ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Σύμφωνα με το πρόβλημα θα είναι:

AM² + BM² = k² (1).

Αν Ο είναι το μέσο του ΑΒ, τότε από το 1ο θεώρημα των διαμέσων θα έχουμε

$AM^2 + BM^2=2MO^2+\frac{AB^2}{2}$

$k^2=2MO^2+\frac{AB^2}{2}$

$MO=\frac{\sqrt{2k^2-AB^2}}{2}$     (2).

Από την ισότητα αυτή βλέπουμε ότι το τμήμα ΜΟ έχει σταθερό μήκος.

Έτσι το Μ απέχει από το σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ίση με $\frac{\sqrt{2k^2-AB^2}}{2}$, άρα βρίσκεται στον κύκλο $(O,\frac{\sqrt{2k^2-AB^2}}{2})$. 

Αντίστροφα. Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο Μ του κύκλου $(O,\frac{\sqrt{2k^2-AB^2}}{2})$ είναι και το σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, δηλαδή ότι ισχύει ΑΜ² + MB² = k². Πράγματι, από το 1ο θεώρημα διαμέσων έχουμε

$AM^2 + BM^2=2MO^2+\frac{AB^2}{2}=2(\frac{\sqrt{2k^2-AB^2}}{2})^2+\frac{AB^2}{2}=k^2$

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος που έχει κέντρο Ο το μέσο του τμήματος ΑΒ και ακτίνα ίση με $\frac{\sqrt{2k^2-AB^2}}{2}$.

Διερεύνηση. Απαραίτητη προϋπόθεση για να υπάρχει γεωμετρικός τόπος είναι

$2k^2-AB^2\geq{0}$, άρα $k\geq{\frac{AB}{\sqrt{2}}}$. 

Όταν έχουμε ισότητα ο γεωμετρικός τόπος αποτελείται μόνο από το σημείο Ο.