▪ Σχέση εξωτερικής και απέναντι εσωτερικής γωνίας

Θεώρημα

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$. Φέρουμε τη διάμεσο ${\rm B}\Delta$ και στην προέκτασή της, προς το $\Delta$, θεωρούμε σημείο ${\rm E}$, ώστε $\Delta {\rm E}={\rm B}\Delta$. Επειδή το ${\rm E}$ βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας $\Gamma Ax$ έχουμε ΓAΕ Ax = Aεξ. Όμως τα τρίγωνα ${\rm B}\Delta \Gamma$ και ${\rm E}\Delta {\rm A}$ είναι ίσα γιατί έχουν: ${\rm B}\Delta =\Delta {\rm E},{\rm A}\Delta =\Delta \Gamma$ και $\mathrm{\angle }{\Delta }_1=\mathrm{\angle }{\Delta }_2$, οπότε $\mathrm{\angle }\Gamma =\mathrm{\angle }\Gamma {\rm A}{\rm E}$. Από την τελευταία ισότητα και την $\Gamma A{\rm E}A\epsilon \xi$ προκύπτει ότι $A\epsilon \xi >\Gamma$. Όμοια αποδεικνύεται ότι και $A\epsilon \xi >B$.

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Α' και Β΄ Λυκείου.