▪ Σχέση εξωτερικής και απέναντι εσωτερικής γωνίας

Θεώρημα

Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο $ΑΒΓ$. Φέρουμε τη διάμεσο $ΒΔ$ και στην προέκτασή της, προς το $Δ$, θεωρούμε σημείο $Ε$, ώστε $ΔΕ = ΒΔ$. Επειδή το $Ε$ βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας $ΓAx$ έχουμε ΓAΕ Ax = Aεξ. Όμως τα τρίγωνα $ΒΔΓ$ και $ΕΔΑ$ είναι ίσα γιατί έχουν: $ΒΔ = ΔΕ, ΑΔ = ΔΓ$ και $\angle{Δ_1} = \angle{Δ_2}$, οπότε $\angle{Γ} = \angle{ΓΑΕ}$. Από την τελευταία ισότητα και την $ΓAΕ Aεξ$ προκύπτει ότι $Aεξ >Γ$. Όμοια αποδεικνύεται ότι και $Aεξ> B$.

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Α' και Β΄ Λυκείου.