Σάββατο 13 Οκτωβρίου 2012

▪ Η γενική θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου

Η ύπαρξη ασύμμετρων μεγεθών οδήγησε στη διατύπωση μιας νέας θεωρίας από τον Εύδοξο τον Κνίδιο που εκτίθεται στο Βιβλίο V των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Η νέα θεωρία των αναλογιών στηρίζεται στη γενική έννοια του μεγέθους, περιλαμβάνοντας έτσι και τους αριθμούς και τα άλλα συνεχή μεγέθη (μήκη, επιφάνειες, όγκοι). Η έννοια αυτή εισάγεται αξιωματικά με τη βοήθεια των Κοινών Εννοιών στο Βιβλίο I που ορίζουν τις σχέσεις ισότητας και ανισότητας. 
Ο Εύδοξος ορίζει πότε δύο ζεύγη Αρχιμήδειων μεγεθών α,β και γ,δ έχουν τον ίδιο λόγο με τη βοήθεια των πολλαπλασίων αυτών των μεγεθών, δηλαδή όταν: 1) μα > νβ και μγ > νδ ή 2) μα=νβ και μγ = νδ, ή 3) μα ανάλογα. Η σχέση της αναλογίας είναι σχέση τύπου ισότητας, δηλαδή συμμετρική και μεταβατική, και έτσι τα ζεύγη μεγεθών διαμερίζονται σε κλάσεις ισοδυναμίας ζευγών που έχουν τον ίδιο λόγο. Έτσι, ο λόγος μπορεί να εισαχθεί ως το κοινό χαρακτηριστικό που έχουν τα ζεύγη μεγεθών μιας κλάσης.
Η γενική θεωρία των αναλογιών αποτελεί τη βάση της μεθόδου της εξάντλησης, η οποία εφαρμόστηκε από τους αρχαίους Έλληνες στη μέτρηση (μη στοιχειωδών) επιφανειών και όγκων. Στηρίζεται στην ιδέα ότι αν από κάποιο μέγεθος αφαιρέσουμε περισσότερο από το μισό, από το υπόλοιπο επίσης κ.ο.κ., τότε μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων παίρνουμε υπόλοιπο μικρότερο από οποιοδήποτε δεδομένο μέγεθος («Στοιχεία», Βιβλίο Χ, Πρόταση 1). Με άλλα λόγια, η διαφορά ανάμεσα σε μιά μεταβλητή ποσότητα που τείνει σε ένα όριο, και στο όριο αυτό, μπορεί να γίνει όσο μικρή θέλουμε με υποδιπλασιασμό της. Με τη βοήθεια της μεθόδου της εξάντλησης ο Εύδοξος απέδειξε τα παρακάτω θεωρήματα: 
1. Τα εμβαδά δύο κύκλων έχουν λόγο ίσο προς το λόγο των τετραγώνων των διαμέτρων τους. 
2. Ο όγκος πυραμίδας ισούται με το 1/3 του όγκου του πρίσματος με την ίδια βάση και ύψος. 
3. Ο όγκος του κώνου ισούται με το 1/3 του όγκου του κυλίνδρου με την ίδια βάση και ύψος. 
Με την ίδια μέθοδο ο Αρχιμήδης βρήκε ένα πλήθος νέων εμβαδών και όγκων, όπως το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου και κώνου, το εμβαδόν της επιφάνειας σφαίρας, τον όγκο της σφαίρας κ.ά.
Ιστορικό σημείωμα (Βιβλίο Γεωμετρίας Α΄ - Β΄ Λυκείου).

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου