Παρασκευή 26 Οκτωβρίου 2012

▪ Βάρη (Ι)

Η παρακάτω ζυγαριά ισορροπεί.
Αν 
και το άθροισμα των βαρών των αντικειμένων της ζυγαριάς είναι 32, να βρεθεί το βάρος κάθε αντικειμένου. 
Αναρτήθηκε από στις 26.10.12
Ετικέτες

2 σχόλια:

  1. Papaveri26 Οκτωβρίου 2012 στις 5:16 μ.μ.

    Το πρόβλημα έχει 5 λύσεις. Το κάθε αντικείμενο ζυγίζει:
    Σφαίρα: 12, 13, 14, 15, και 16κιλά αντίστοιχα.
    Ρόμβος: 1, 3, 5, 7, και 9κιλά αντίστοιχα.
    Τρίγωνο: 1, 4, 7, 10, και 13κιλά αντίστοιχα.
    Τετράγωνο: 2, 4, 6, 8, και 10κιλά αντίστοιχα.
    Έστω «α» η σφαίρα, «β» ο ρόμβος, «γ» το τρίγωνο και «δ» το τετράγωνο. Βάσει της εκφωνήσεως των δεδομένων του προβλήματος έχουμε:
    α+β+γ+δ=32 (1)
    α+2β=β+γ+2δ (2)
    α-2=β+γ (3)
    Από τη (3) συνάγουμε ότι:
    α-2=β+γ (3) --> α=β+γ+2 (4)
    Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
    α+2β=β+γ+2δ --> β+γ+2+2β=β+γ+2δ --> 3β+γ+2=β+γ+2δ --> 3β-β=γ+2δ-γ-2 -->
    2β=2δ-2 --> 2β=2*(δ-1) --> β=[2*(δ-1)]/2 --> β=δ-1 (5)
    Αντικαθιστούμε τη (5) στη (4) κι’ έχουμε:
    α=β+γ+2 --> α= δ-1+γ+2 --> α=δ+γ+1 (6)
    Αντικαθιστούμε τις τιμές (5) και (6) στην (1) κι’ έχουμε:
    α+β+γ+δ=32 --> δ+γ+1+ δ-1+γ+δ=32 -->
    3δ+2γ=32 --> 3δ=32-2γ --> δ=(32-2γ)/3 (6)
    Διερεύνηση:
    Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "γ" τις τιμές από το 1 έως το 13, βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιους αριθμούς "δ" είναι οι αριθμοί γ=1, 4, 7, 10, και 13 αντίστοιχα . (7)
    Αντικαθιστούμε τη τιμή του «γ» στην (6) κι’ έχουμε:
    δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*1)/3 --> δ=(32-2)/3 --> δ=30/3 --> δ=10 (8)
    δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*4)/3 -->
    δ=(32-8)/3 --> δ=24/3 --> δ=8 (8)
    δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*7)/3 -->
    δ=(32-14)/3 --> δ=18/3 --> δ=6 (8)
    δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*10)/3 -->
    δ=(32-20)/3 --> δ=12/3 --> δ=4 (8)
    δ=(32-2γ)/3 --> δ=(32-2*13)/3 -->
    δ=(32-26)/3 --> δ=6/3 --> δ=2 (8)
    Αντικαθιστούμε τη τιμή του «δ»¨στη (5) κι’ έχουμε:
    β=δ-1 --> β=10-1 --> β=9 (9)
    β=δ-1 --> β=8-1 --> β=7 (9)
    β=δ-1 --> β=6-1 --> β=5 (9)
    β=δ-1 --> β=4-1 --> β=3 (9)
    β=δ-1 --> β=2-1 --> β=1 (9)
    Αντικαθιστούμε τις τιμές «β» και «γ» στη (4) κι’ έχουμε:
    α=β+γ+2 --> α=9+1+2=12 (10)
    α=β+γ+2 --> α=7+4+2=13 (10)
    α=β+γ+2 --> α=5+7+2=14 (10)
    α=β+γ+2 --> α=3+10+2=15 (10)
    α=β+γ+2 --> α=1+13+2=16 (10)
    Επαλήθευση:
    α+β+γ+δ=32 --> 12+9+1+10=32
    α+β+γ+δ=32 --> 13+7+4+8=32
    α+β+γ+δ=32 --> 14+5+7+6=32
    α+β+γ+δ=32 --> 15+3+10+4=32
    α+β+γ+δ=32 --> 16+1+13+2=32

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Papaveri26 Οκτωβρίου 2012 στις 7:35 μ.μ.

    Συμπλήρωμα στην επαλήθευση:
    Επαλήθευση:
    Α) α+β+γ+δ=32 --> 12+9+1+10=32
    α+β+γ+δ=32 --> 13+7+4+8=32
    α+β+γ+δ=32 --> 14+5+7+6=32
    α+β+γ+δ=32 --> 15+3+10+4=32
    α+β+γ+δ=32 --> 16+1+13+2=32
    Β) α+2β=β+γ+2δ-->12+2*9=9+1+2*10 -->12+18=9+1+20=30
    α+2β=β+γ+2δ --> 13+2*7=7+4+2*8 --> 13+14=7+4+16=27
    α+2β=β+γ+2δ --> 14+2*5=5+7+2*6 --> 14+10=5+7+12=24
    α+2β=β+γ+2δ --> 15+2*3=3+10+2*4 --> 15+6=3+10+8=21
    α+2β=β+γ+2δ --> 16+2*1=1+13+2*2 --> 16+2=1+13+4=18
    Γ) α-2=β+γ --> 12-2=9+1=10
    α-2=β+γ --> 13-2=7+4=11
    α-2=β+γ --> 14-2=5+7=12
    α-2=β+γ --> 15-2=3+10=13
    α-2=β+γ --> 16-2=1+13=14

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)