Να βρεθούν τα πολυώνυμα $P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές, για τα οποία ισχύει
$P(a + b − 2c) + P(b + c − 2a) + P(c + a − 2b) =$
$3P(a − b) + 3P(b − c) + 3P(c − a)$
για κάθε $a, b, c ∈ R$.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Για α=β=γ λαμβάνουμε P(0) = 0.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια α=β και γ=0 λαμβάνουμε
P(-2a) = P(a)+3P(-a)
Το μηδενικό πολυώνυμο είναι ξεκάθαρα μία λύση.
Αν k ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου και ν ο βαθμός του πολυωνύμου τότε
(-2k)^n θα πρέπει να είναι ίσο με k^n+(-3k)^n
Άρα (-2)^ν = 1 + (-3)^ν
Για ν ζυγό έχουμε ν = 2
Για ν μονό έχουμε ν = 1
Αποδεικνύουμε ότι τα πολυώνυμα P(x) = x και P(x) = x^2 είναι λύσεις. Άρα και P(x) = z*x και P(x) = z*x^2 είναι επίσης λύσεις όπως είναι και κάθε γραμμικός συνδυασμός τους. Άρα είναι κάθε πολυώνυμο της μορφής
P(x) = ax^2 + bx