Δευτέρα 17 Σεπτεμβρίου 2012

▪ $P(x)$

Να βρεθούν τα πολυώνυμα $P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές, για τα οποία ισχύει 
$P(a + b − 2c) + P(b + c − 2a) + P(c + a − 2b) =$
$3P(a − b) + 3P(b − c) + 3P(c − a)$
για κάθε $a, b, c ∈ R$.
2nd Benelux Mathematical Olympiad 2010
Αναρτήθηκε από στις 17.9.12
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. Dimitris17 Νοεμβρίου 2012 στις 6:49 μ.μ.

    Για α=β=γ λαμβάνουμε P(0) = 0.
    Για α=β και γ=0 λαμβάνουμε
    P(-2a) = P(a)+3P(-a)
    Το μηδενικό πολυώνυμο είναι ξεκάθαρα μία λύση.
    Αν k ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου και ν ο βαθμός του πολυωνύμου τότε
    (-2k)^n θα πρέπει να είναι ίσο με k^n+(-3k)^n
    Άρα (-2)^ν = 1 + (-3)^ν
    Για ν ζυγό έχουμε ν = 2
    Για ν μονό έχουμε ν = 1
    Αποδεικνύουμε ότι τα πολυώνυμα P(x) = x και P(x) = x^2 είναι λύσεις. Άρα και P(x) = z*x και P(x) = z*x^2 είναι επίσης λύσεις όπως είναι και κάθε γραμμικός συνδυασμός τους. Άρα είναι κάθε πολυώνυμο της μορφής
    P(x) = ax^2 + bx

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)