▪ Eμβαδόν τριγώνου (I)

Πρόβλημα 

Να υπολογιστεί το εμβαδόν τριγώνου συναρτήσει των διαμέσων του.

Απόδειξη

Έστω τρίγωνο $ABC$ και $AD=m_a,BE=m_b,CF=m_c$ οι διάμεσοι του. 

Γνωρίζουμε ότι:

$AG=\frac{2}{3}AD$

οπότε

$(AGF)=\frac{1}{2}(ABG)=\frac{1}{6}(ABC)$.

Αν $P$ μέσο του $AG$, τότε έχουμε:

$PG=\frac{1}{3}{m}_a$, $FP=\frac{1}{3}{m}_b$, $FG=\frac{1}{3}{m}_c$

οπότε

$(FPG)=\frac{1}{2}(AFG)=\frac{1}{12}(ABC)$.

Σύμφωνα με τον τύπο του Ήρωνα έχουμε:

$(ABC)=12(FPG)$

            $=12\cdot \frac{1}{9}\sqrt{(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}$

            $=\frac{4}{3}\sqrt{(m-m_a)(m-m_b)(m-m_c)}$, 

όπου $m=\frac{1}{2}(m_a+m_b+m_c)$.