▪ Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο

Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό:

«Αν το τετράγωνο ενός ακεραίου αριθμού είναι άρτιος, τότε και ο αριθμός αυτός είναι άρτιος», δηλαδή

«Αν ο $α^2$ είναι άρτιος αριθμός, τότε και ο $α$ είναι άρτιος αριθμός»

Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού σκεπτόμαστε ως εξής:

Έστω ότι ο $α$ δεν είναι άρτιος. Τότε ο $α$ θα είναι περιττός, δηλαδή θα έχει τη μορφή $α = 2κ + 1$, όπου $κ$ ακέραιος, οπότε θα έχουμε:

$α^2 = ( 2κ + 1)2 = 4κ^2 + 4κ + 1=2(2κ^2 + 2κ) + 1$

     $= 2λ + 1$, (όπου $λ = 2κ^2 + 2κ$).

Δηλαδή $α^2 = 2λ + 1, λ ∈ Ζ$, που σημαίνει ότι ο $α^2$ είναι περιττός. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι ο $α^2$ είναι άρτιος. Επομένως, η παραδοχή ότι $α$ δεν είναι άρτιος είναι λανθασμένη. Άρα ο $α$ είναι άρτιος.

Στην παραπάνω απόδειξη υποθέσαμε ότι δεν ισχύει αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις φθάσαμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει. Οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο.

Η μέθοδος αυτή απόδειξης χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Αρχαίους Έλληνες και λέγεται απαγωγή σε άτοπο.

Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου.