▪ Γωνία δύο κύκλων

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Θεωρούμε δύο τεμνόμενους κύκλους και φέρουμε τις εφαπτόμενές τους σε καθένα από τα κοινά σημεία τους.
(i) Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων σε καθένα από τα κοινά σημεία τους σχηματίζουν ίσες γωνίες. Καθεμία από τις γωνίες αυτές λέγεται γωνία των δύο κύκλων.
(ii) Αν η γωνία των δύο κύκλων είναι ορθή, λέμε ότι οι κύκλοι τέμνονται ορθογώνια ή ότι είναι ορθογώνιοι. Να αποδειχθεί ότι, αν οι δύο κύκλοι είναι ορθογώνιοι, οι εφαπτόμενες του ενός κύκλου στα κοινά σημεία τους διέρχονται από το κέντρο του άλλου κύκλου.

Απόδειξη

(i) Ας θεωρήσουμε δύο τεμνόμενους κύκλους με κέντρα ${{\rm O}}_1$ και ${{\rm O}}_2$ και ${\rm A},{\rm B}$ τα σημεία τομής τους. Από την ισότητα των τριγώνων $\mathrm{\angle }{{\rm O}}_1{\rm A}{{\rm O}}_2$ και $\mathrm{\angle }{{\rm O}}_1{\rm B}{{\rm O}}_2$ θα έχουμε ότι $\mathrm{\angle }{{\rm O}}_{1}A{{\rm O}}_2=\mathrm{\angle }{{\rm O}}_1{\rm B}{{\rm O}}_2=\omega$. Ας φέρουμε τώρα τις εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο σημείο ${\rm A}$ και στο σημείο ${\rm B}$. Οι εφαπτόμενες στο ${\rm A}$ σχηματίζουν γωνία

 $\mathrm{\angle }{x}^{\prime }Ax=2∟-\omega$ 

(επειδή $\mathrm{\angle }{{\rm O}}_{1}Ax=\mathrm{\angle }{{\rm O}}_{2}A{x}^{\prime }=1∟$) και όμοια οι εφαπτόμενες στο ${\rm B}$ σχηματίζουν γωνία $\mathrm{\angle }{y}^{\prime }By=2∟-\omega$. Επομένως,

$\mathrm{\angle }{x}^{\prime }Ax=\mathrm{\angle }{y}^{\prime }By$.

(ii) Αν δύο κύκλοι τέμνονται ορθογώνια, δηλαδή αν $\phi =1∟$, έχουμε ότι

$\mathrm{\angle }{{\rm O}}_{1}A{{\rm O}}_2+\mathrm{\angle }{{\rm O}}_{1}Ax=2∟$, 

οπότε οι ημιευθείες ${\rm A}x$ και ${\rm A}{{\rm O}}_2$ είναι αντικείμενες.
Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Α΄-Β΄ Λυκείου.