▪ Δύο εφαρμογές στην Ισότητα Τριγώνων

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η

Θεωρούμε γωνία xÔy και δύο κύκλους (Ο,ρ), (Ο,R) με ρ < Κ. Αν ο πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές Οx, Oy στα Α, Β, ο δεύτερος στα Γ, Δ και Μ είναι το σημείο τομής των ΑΔ, ΒΓ, να αποδειχθεί ότι: (i) τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ είναι ίσα, (ii) τα τρίγωνα ΜΑΓ και ΜΒΔ είναι ίσα, (iii) τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσα, (iv) η OM είναι η διχοτόμος της xÔy.

Απόδειξη

i) Τα τρίγωνα ${\rm O}{\rm A}\Delta$ και ${\rm O}{\rm B}\Gamma$ έχουν ${\rm O}{\rm A}={\rm O}{\rm B}(=\rho )$, ${\rm O}\Gamma ={\rm O}\Delta (=R)$ και ${\rm O}$ κοινή (Π-Γ-Π), επομένως είναι ίσα.

(ii) Από την προηγούμενη ισότητα προκύπτει ότι ${{\rm A}}_1={{\rm B}}_1$ ή $180°-{{\rm A}}_2=180°-{{\rm B}}_2$ ή ${{\rm A}}_2={{\rm B}}_2$ και ${\Gamma }_1={\Delta }_1$. Επομένως, τα τρίγωνα ${\rm M}{\rm A}\Gamma$ και ${\rm M}{\rm B}\Delta$ έχουν ${\rm A}\Gamma ={\rm B}\Delta ,{{\rm A}}_2={{\rm B}}_2$ και ${\Gamma }_1={\Delta }_1$ (Γ-Π-Γ), άρα είναι ίσα.

(iii) Από το (ii) προκύπτει ότι ${\rm M}{\rm A}={\rm M}{\rm B}$, οπότε τα τρίγωνα ${\rm O}{\rm A}{\rm M}$ και ${\rm O}{\rm B}{\rm M}$ έχουν ${\rm O}{\rm A}={\rm O}{\rm B},{\rm M}{\rm A}={\rm M}{\rm B}$ και ${\rm O}{\rm M}$ κοινή (Π-Π-Π), άρα είναι ίσα. 

(iv) Επειδή τα τρίγωνα ${\rm O}{\rm A}{\rm M}$ και ${\rm O}{\rm B}{\rm M}$ είναι ίσα, έχουμε ότι ${Ô}_1={Ô}_2$, δηλαδή η ${\rm O}{\rm M}$ είναι η διχοτόμος της $xÔy$.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' έχουν β = β', γ = γ' και μβ = μβ'. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.  Απόδειξη

Εξετάζουμε πρώτα τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}{\rm M}$ και ${{\rm A}}^{\prime }{{\rm B}}^{\prime }{{\rm M}}^{\prime }$. Αυτά έχουν ${\rm A}{\rm B}={{\rm A}}^{\prime }{{\rm B}}^{\prime },{\rm B}{\rm M}={{\rm B}}^{\prime }{{\rm M}}^{\prime }$ (από την υπόθεση) και ${\rm A}{\rm M}={{\rm A}}^{\prime }{{\rm M}}^{\prime }$, ως μισά των ίσων πλευρών ${\rm A}\Gamma$ και ${{\rm A}}^{\prime }{\Gamma }^{\prime }$.

Άρα, τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}{\rm M}$ και $4{{\rm A}}^{\prime }{{\rm B}}^{\prime }{{\rm M}}^{\prime }$ είναι ίσα (Π-Π-Π), οπότε ${\rm A}={{\rm A}}^{\prime }$. Επομένως, τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${{\rm A}}^{\prime }{{\rm B}}^{\prime }{\Gamma }^{\prime }$ έχουν $\beta ={\beta }^{\prime },\gamma ={\gamma }^{\prime }$ και ${\rm A}={{\rm A}}^{\prime }$, άρα (Π-Γ-Π) είναι ίσα.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Α΄ - Β΄ Λυκείου.