▪ Δύο εφαρμογές στην Ισότητα Τριγώνων

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η

Θεωρούμε γωνία xÔy και δύο κύκλους (Ο,ρ), (Ο,R) με ρ < Κ. Αν ο πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές Οx, Oy στα Α, Β, ο δεύτερος στα Γ, Δ και Μ είναι το σημείο τομής των ΑΔ, ΒΓ, να αποδειχθεί ότι: (i) τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ είναι ίσα, (ii) τα τρίγωνα ΜΑΓ και ΜΒΔ είναι ίσα, (iii) τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσα, (iv) η OM είναι η διχοτόμος της xÔy.

Απόδειξη

i) Τα τρίγωνα $ΟΑΔ$ και $ΟΒΓ$ έχουν $ΟΑ = ΟΒ (= ρ)$, $ΟΓ = ΟΔ(= R)$ και $Ο$ κοινή (Π-Γ-Π), επομένως είναι ίσα.

(ii) Από την προηγούμενη ισότητα προκύπτει ότι $Α_1 = Β_1$ ή $180 ° - Α_2 = 180 ° - Β_2$ ή $Α_2 = Β_2$ και $Γ_1 = Δ_1$. Επομένως, τα τρίγωνα $ΜΑΓ$ και $ΜΒΔ$ έχουν $ΑΓ = ΒΔ, Α_2 = Β_2$ και $Γ_1 = Δ_1$ (Γ-Π-Γ), άρα είναι ίσα.

(iii) Από το (ii) προκύπτει ότι $ΜΑ=ΜΒ$, οπότε τα τρίγωνα $ΟΑΜ$ και $ΟΒΜ$ έχουν $ΟΑ = ΟΒ, ΜΑ = ΜΒ$ και $ΟΜ$ κοινή (Π-Π-Π), άρα είναι ίσα. 

(iv) Επειδή τα τρίγωνα $ΟΑΜ$ και $ΟΒΜ$ είναι ίσα, έχουμε ότι $Ô_1 = Ô_2$, δηλαδή η $ΟΜ$ είναι η διχοτόμος της $xÔy$.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' έχουν β = β', γ = γ' και μβ = μβ'. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.  Απόδειξη

Εξετάζουμε πρώτα τα τρίγωνα $ΑΒΜ$ και $Α'Β'Μ'$. Αυτά έχουν $ΑΒ = Α'Β', ΒΜ= Β'Μ'$ (από την υπόθεση) και $ΑΜ =Α'Μ'$, ως μισά των ίσων πλευρών $ΑΓ$ και $Α'Γ'$.

Άρα, τα τρίγωνα $ΑΒΜ$ και $4Α'Β'Μ'$ είναι ίσα (Π-Π-Π), οπότε $Α = Α'$. Επομένως, τα τρίγωνα $ΑΒΓ$ και $Α'Β 'Γ'$ έχουν $β = β', γ = γ'$ και $Α =Α'$, άρα (Π-Γ-Π) είναι ίσα.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Α΄ - Β΄ Λυκείου.