▪ Δεν υπάρχει...

Δεν υπάρχει θετικός ρητός αριθμός $α: α^2 = 2 ( 2 ∉Q)$. 

Απόδειξη (του Ευδόξου)

Έστω ότι

$α=\frac{m}{n}: α^2=2$. 

Υποθέτουμε ότι $(m, n) = 1$. 

Υποθέτουμε ότι αν $m$ και $n$ δεν είναι άρτιοι, τότε, 

$2=α^2= \frac{m^2}{n^2}⇒m^2=2n^2$.

Δηλαδή, ο $m^2$ είναι άρτιος άρα και ο $m$ είναι άρτιος, 

$m =2k ⇒m^2 =4k^2 = 2n^2$  

Δηλαδή, $n^2 = 2k^2⇒ n^2$ είναι άρτιος, άρα και ο $n$. Άτοπο.