▪ Δεν υπάρχει...

Δεν υπάρχει θετικός ρητός αριθμός $\alpha :{\alpha }^2=2(2\notin Q)$. 

Απόδειξη (του Ευδόξου)

Έστω ότι

$\alpha =\frac{m}{n}:{\alpha }^2=2$. 

Υποθέτουμε ότι $(m,n)=1$. 

Υποθέτουμε ότι αν $m$ και $n$ δεν είναι άρτιοι, τότε, 

$2={\alpha }^2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2$.

Δηλαδή, ο $m^2$ είναι άρτιος άρα και ο $m$ είναι άρτιος, 

$m=2k\Rightarrow m^2=4k^2=2n^2$  

Δηλαδή, $n^2=2k^2\Rightarrow n^2$ είναι άρτιος, άρα και ο $n$. Άτοπο.