▪ Γωνία δύο τεμνουσών

i) Ας θεωρήσουμε γωνία xAy, όπου η κορυφή της Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Οι πλευρές της Ax, Ay και οι προεκτάσεις τους τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Β₁,Γ₁ και Β₂, Γ₂ αντίστοιχα. Τότε, ισχύει ότι η γωνία xAy ισούται με το άθροισμα των εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στα τόξα που περιέχει η xAy και η κατακορυφήν της, δηλαδή:

xAy = ΑB₁Γ₂ + Β₁Γ₂Α.

(ii) Ας θεωρήσουμε γωνία xAy όπου η κορυφή της Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου. Οι πλευρές της Ax, Ay τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Β₁,Β₂και Γ₁,Γ₂ αντίστοιχα. Τότε ισχύει ότι η γωνία xAy ισούται με τη διαφορά των εγγεγραμμένων γωνιών, που βαίνουν στα τόξα του κύκλου που περιέχει η xAy, δηλαδή

xAy = Β₂Β₁Γ₂ - Β₁Γ₂Γ₁, όπου Β₂Β₁Γ₂ > Β₁Γ₂Γ₁.

Απόδειξη

(i) Η xAy είναι εξωτερική του τριγώνου Β1ΑΓ2, επομένως ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών, δηλαδή xAy = ΑΒ1Γ2 + Β1Γ2Α. ΣΧΟΛΙΟ xAy = Β1Γ12 + Β2Γ22 .

(ii) Η γωνία Β2Β1Γ2 είναι εξωτερική του τριγώνου Β1ΑΓ2, επομένως Β2Β1Γ2 = xAy + ΑΓ2Β1 ή xAy = Β2Β1Γ2 - Β1Γ2Γ1. ΣΧΟΛΙΟ xAy = Β2Γ22 - Β1Γ12 .

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας της Α΄-Β΄ Λυκείου.