▪ Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου

Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι [όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου].

(i) ${\rm E}=\sqrt{\tau (\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$, (τύπος του Ήρωνα)

(ii) ${\rm E}=\tau \cdot \rho$, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

(iii) ${\rm E}=\frac{\alpha \beta \gamma }{4R}$, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απόδειξη

(i) Γνωρίζουμε ότι:

${\upsilon }_{\alpha }=\frac{2}{a}\sqrt{\tau (\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$

οπότε έχουμε:

${\rm E}=\frac{1}{2}\alpha {\upsilon }_{\alpha }$

$=\frac{a}{2}\cdot \frac{2}{a}\sqrt{\tau (\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$

$=\sqrt{\tau (\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}$.

(ii) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα ΙΑ, ΙΒ και ΙΓ και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα ΙΒΓ, ΙΓΑ και ΙΑΒ που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε:

${\rm E}=({\rm A}{\rm B}\Gamma )=({\rm I}{\rm B}\Gamma )+({\rm I}\Gamma {\rm A})+({\rm I}{\rm A}{\rm B})$

$=\frac{1}{2}\alpha \rho +\frac{1}{2}\beta \rho +\frac{1}{2}\gamma \rho$

$=\frac{1}{2}(\alpha +\beta +\gamma )=\tau \rho$.

(iii) Είναι γνωστό ότι βγ = 2Rυ_α οπότε έχουμε ότι υ_α = βγ2R και με αντικατάσταση στον τύπο Ε = 12 αυ_α προκύπτει το ζητούμενο.

Τέλος, το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο:

Απόδειξη

Αν $\mathrm{\angle }A<{90}^0$, β= γ•ημΑ.

Αν $\mathrm{\angle }A>{90}^0$, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ προκύπτει ότι:

υ_β = γ•ημΑ_εξ = γ•ημ(180° - Α) = γ•ημΑ.

Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υ_β=γ•ημΑ οπότε
${\rm E}=\frac{1}{2}\beta {\upsilon }_{\beta }=\frac{1}{2}\beta \gamma \eta \mu A$.

Όταν $\mathrm{\angle }A={90}^0$, τότε υ_β = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει.Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι.
Aπό το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α΄-Β΄ Λυκείου.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση