▪ Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου

Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι [όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου].

(i) $Ε=\sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}$, (τύπος του Ήρωνα)

(ii) $Ε=τ\cdot{ρ}$, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

(iii) $Ε=\frac{αβγ}{4R}$, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Απόδειξη

(i) Γνωρίζουμε ότι:

$υ_α=\frac{2}{a}\sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}$

οπότε έχουμε:

$Ε=\frac{1}{2}αυ_α$

$=\frac{a}{2}\cdot\frac{2}{a}\sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}$

$=\sqrt{τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ)}$.

(ii) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα ΙΑ, ΙΒ και ΙΓ και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα ΙΒΓ, ΙΓΑ και ΙΑΒ που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε:

$Ε=(ΑΒΓ)=(ΙΒΓ)+(ΙΓΑ)+(ΙΑΒ)$

$=\frac{1}{2}αρ+\frac{1}{2}βρ+\frac{1}{2}γρ$

$=\frac{1}{2}(α+β+γ)=τρ$.

(iii) Είναι γνωστό ότι βγ = 2Rυ_α οπότε έχουμε ότι υ_α = βγ2R και με αντικατάσταση στον τύπο Ε = 12 αυ_α προκύπτει το ζητούμενο.

Τέλος, το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο:

Απόδειξη

Αν $\angle{A}<90^0$, β= γ•ημΑ.

Αν $\angle{A}>90^0$, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ προκύπτει ότι:

υ_β = γ•ημΑ_εξ = γ•ημ(180° - Α) = γ•ημΑ.

Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υ_β=γ•ημΑ οπότε
$Ε=\frac{1}{2}βυ_β=\frac{1}{2}βγημA$.

Όταν $\angle{A}=90^0$, τότε υ_β = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει.Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι.
Aπό το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α΄-Β΄ Λυκείου.