▪ Όγκος σφαίρας

Θεώρημα 

Ο όγκος σφαίρας ακτίνας ρ είναι: V = 43 πρ³.

Απόδειξη
Εγγράφουμε στον κύκλο που παράγει τη σφαίρα εκ περιστροφής ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, π.χ. ένα εξάγωνο. Κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα ${\rm A}\Delta$, τα τρίγωνα ${\rm O}{\rm A}{\rm B},{\rm O}{\rm B}\Gamma$ και ${\rm O}\Gamma \Delta$ παράγουν όγκο, που σύμφωνα με το Θεώρημα II του Πάππου δίνεται από τη σχέση:

$V_6=\frac{1}{3}(\epsilon \mu \beta ({\rm A}{\rm B})+\epsilon \mu \beta ({\rm B}\Gamma )+\epsilon \mu \beta (\Gamma \Delta ))\cdot a_6$=

=$\frac{1}{3}\epsilon \mu \beta ({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )\cdot a_6$

όπου α₆ είναι το απόστημα του κανονικού εξαγώνου και εμβ(ΑΒ) είναι το εμβαδόν της επιφάνειας που παράγεται από το τμήμα ${\rm A}{\rm B}$ κατά την περιστροφή του γύρω από τον άξονα ${\rm A}\Delta$. Διπλασιάζοντας συνεχώς τις πλευρές του εγγεγραμμένου πολυγώνου, στο όριο, η πλευρά του εγγεγραμμένου πολυγώνου τείνει στο μηδέν, το εμβαδόν της πολυγωνικής γραμμής ${\rm A}{\rm B}...\Delta$ τείνει στο εμβαδόν του ημικυκλίου ακτίνας ρ, το εμβαδόν που παράγει η πολυγωνική γραμμή ${\rm A}{\rm B}...\Delta$ τείνει στο εμβαδόν της σφαίρας και το απόστημα τείνει στην ακτίνα ρ του κύκλου. Στο όριο, λοιπόν, έχουμε:

$V=\frac{1}{3}4\pi {\rho }^2\cdot \rho =\frac{4}{3}4\pi {\rho }^3$.

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας Α΄ και Β΄ Λυκείου.