▪ Όγκος σφαίρας

Θεώρημα 

Ο όγκος σφαίρας ακτίνας ρ είναι: V = 43 πρ³.

Απόδειξη
Εγγράφουμε στον κύκλο που παράγει τη σφαίρα εκ περιστροφής ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, π.χ. ένα εξάγωνο. Κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα $ΑΔ$, τα τρίγωνα $ΟΑΒ, ΟΒΓ$ και $ΟΓΔ$ παράγουν όγκο, που σύμφωνα με το Θεώρημα II του Πάππου δίνεται από τη σχέση:

$V_6=\frac{1}{3}(εμβ(ΑΒ)+εμβ(ΒΓ)+εμβ(ΓΔ))\cdot{a_6}$=

=$\frac{1}{3}εμβ(ΑΒΓΔ)\cdot{a_6}$

όπου α₆ είναι το απόστημα του κανονικού εξαγώνου και εμβ(ΑΒ) είναι το εμβαδόν της επιφάνειας που παράγεται από το τμήμα $ΑΒ$ κατά την περιστροφή του γύρω από τον άξονα $ΑΔ$. Διπλασιάζοντας συνεχώς τις πλευρές του εγγεγραμμένου πολυγώνου, στο όριο, η πλευρά του εγγεγραμμένου πολυγώνου τείνει στο μηδέν, το εμβαδόν της πολυγωνικής γραμμής $ΑΒ...Δ$ τείνει στο εμβαδόν του ημικυκλίου ακτίνας ρ, το εμβαδόν που παράγει η πολυγωνική γραμμή $ΑΒ...Δ$ τείνει στο εμβαδόν της σφαίρας και το απόστημα τείνει στην ακτίνα ρ του κύκλου. Στο όριο, λοιπόν, έχουμε:

$V=\frac{1}{3}4πρ^2\cdot{ρ}=\frac{4}{3}4πρ^3$.

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας Α΄ και Β΄ Λυκείου.