Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Πέμπτη 2 Αυγούστου 2012

▪ Όγκος σφαίρας

Θεώρημα 
Ο όγκος σφαίρας ακτίνας ρ είναι: V = 43 πρ3.
Απόδειξη
Εγγράφουμε στον κύκλο που παράγει τη σφαίρα εκ περιστροφής ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, π.χ. ένα εξάγωνο. Κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα ΑΔ, τα τρίγωνα ΟΑΒ,ΟΒΓ και ΟΓΔ παράγουν όγκο, που σύμφωνα με το Θεώρημα II του Πάππου δίνεται από τη σχέση:
V6=13(εμβ(ΑΒ)+εμβ(ΒΓ)+εμβ(ΓΔ))a6=
=13εμβ(ΑΒΓΔ)a6
όπου α6 είναι το απόστημα του κανονικού εξαγώνου και εμβ(ΑΒ) είναι το εμβαδόν της επιφάνειας που παράγεται από το τμήμα ΑΒ κατά την περιστροφή του γύρω από τον άξονα ΑΔ. Διπλασιάζοντας συνεχώς τις πλευρές του εγγεγραμμένου πολυγώνου, στο όριο, η πλευρά του εγγεγραμμένου πολυγώνου τείνει στο μηδέν, το εμβαδόν της πολυγωνικής γραμμής ΑΒ...Δ τείνει στο εμβαδόν του ημικυκλίου ακτίνας ρ, το εμβαδόν που παράγει η πολυγωνική γραμμή ΑΒ...Δ τείνει στο εμβαδόν της σφαίρας και το απόστημα τείνει στην ακτίνα ρ του κύκλου. Στο όριο, λοιπόν, έχουμε:
V=134πρ2ρ=434πρ3.
Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας Α΄ και Β΄ Λυκείου.