Θεώρημα
Ο όγκος σφαίρας ακτίνας ρ είναι: V = 43 πρ3.Απόδειξη
Εγγράφουμε στον κύκλο που παράγει τη σφαίρα εκ περιστροφής ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, π.χ. ένα εξάγωνο. Κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα , τα τρίγωνα και παράγουν όγκο, που σύμφωνα με το Θεώρημα II του Πάππου δίνεται από τη σχέση:
= κατά την περιστροφή του γύρω από τον άξονα . Διπλασιάζοντας συνεχώς τις πλευρές του εγγεγραμμένου πολυγώνου, στο όριο, η πλευρά του εγγεγραμμένου πολυγώνου τείνει στο μηδέν, το εμβαδόν της πολυγωνικής γραμμής τείνει στο εμβαδόν του ημικυκλίου ακτίνας ρ, το εμβαδόν που παράγει η πολυγωνική γραμμή τείνει στο εμβαδόν της σφαίρας και το απόστημα τείνει στην ακτίνα ρ του κύκλου. Στο όριο, λοιπόν, έχουμε:
Εγγράφουμε στον κύκλο που παράγει τη σφαίρα εκ περιστροφής ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος κορυφών, π.χ. ένα εξάγωνο. Κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα
=
όπου α6 είναι το απόστημα του κανονικού εξαγώνου και εμβ(ΑΒ) είναι το εμβαδόν της επιφάνειας που παράγεται από το τμήμα Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας Α΄ και Β΄ Λυκείου.