Τριγωνομετρική Μορφή Γινομένου Μιγαδικών

Αν $z_1={\rho }_1(\sigma \upsilon \nu {\theta }_1+i\eta \mu {\theta }_1)$  και $z_2={\rho }_2(\sigma \upsilon \nu {\theta }_2+i\eta \mu {\theta }_2)$ είναι οι τριγωνομετρικές μορφές δύο μιγαδικών αριθμών $z_1$ και $z_2$, τότε για το γινόμενό τους έχουμε:

$z_1\cdot z_2={\rho }_1(\sigma \upsilon \nu {\theta }_1+i\eta \mu {\theta }_1)\cdot {\rho }_2(\sigma \upsilon \nu {\theta }_2+i\eta \mu {\theta }_2)$=

${\rho }_1\cdot {\rho }_2[(\sigma \upsilon \nu {\theta }_1+i\eta \mu {\theta }_1)\cdot (\sigma \upsilon \nu {\theta }_2+i\eta \mu {\theta }_2)]$=

${\rho }_1\cdot {\rho }_2[(\sigma \upsilon \nu {\theta }_1\sigma \upsilon \nu {\theta }_2-\eta \mu {\theta }_1\eta \mu {\theta }_2)+i(\eta \mu {\theta }_1\sigma \upsilon \nu {\theta }_2+\sigma \upsilon \nu {\theta }_1\eta \mu {\theta }_2)]$= ${\rho }_1\cdot {\rho }_2[(\sigma \upsilon \nu ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\eta \mu ({\theta }_1+{\theta }_2)]$.

Ομοίως, για το πηλίκο τους ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ έχουμε:

${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{{\rho }_1(\sigma \upsilon \nu {\theta }_1+i\eta \mu {\theta }_1)}{{\rho }_2(\sigma \upsilon \nu {\theta }_2+i\eta \mu {\theta }_2)}}$= 

${\displaystyle \frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}}\cdot {\displaystyle \frac{(\sigma \upsilon \nu {\theta }_1+i\eta \mu {\theta }_1)(\sigma \upsilon \nu {\theta }_2-i\eta \mu {\theta }_2)}{(\sigma \upsilon \nu {\theta }_2+i\eta \mu {\theta }_2)(\sigma \upsilon \nu {\theta }_2-i\eta \mu {\theta }_2)}}$=

${\displaystyle \frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}}\cdot {\displaystyle \frac{(\sigma \upsilon \nu {\theta }_1+i\eta \mu {\theta }_1)[\sigma \upsilon \nu (-{\theta }_2)-i\eta \mu (-{\theta }_2)]}{\sigma \upsilon \nu {\theta }_2^2+i\eta \mu {\theta }_2^2}}$= 

${\displaystyle \frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}}\cdot [\sigma \upsilon \nu ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\eta \mu ({\theta }_1-{\theta }_2)]$. 

Αποδείξαμε λοιπόν ότι :

Αν z1 = ρ1(συνθ1 + iημθ1)  και  z2 = ρ2(συνθ2 + iημθ2) είναι δυο μιγαδικοί σε τριγωνομετρική μορφή, τότε

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης, της Γ΄ Λυκείου.