▪Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

Πείραμα Τύχης

Όπως γνωρίζουμε από τη Φυσική, αν θερμάνουμε αποσταγμένο νερό σε $1000$ Κελσίου στην επιφάνεια της θάλασσας, δηλαδή σε ατμοσφαιρική πίεση $760$ mm Hg, το νερό θα βράσει. Επίσης, αν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει στο κενό υπό την επίδραση της βαρύτητας, μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια το διάστημα που θα διανύσει σε ορισμένο χρόνο t. Κάθε τέτοιο πείραμα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό (deterministic) πείραμα.

Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Ένα τέτοιο πείραμα ονομάζεται πείραμα τύχης (random experiment).
Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων που συμβαίνουν σε μια εβδομάδα σε ένα σημείο μιας εθνικής οδού, αφού ο αριθμός αυτός εξαρτάται από πολλούς απρόβλεπτους παράγοντες.

Πειράματα τύχης είναι και τα εξής:

▪ Ρίχνεται ένα νόμισμα και καταγράφεται η άνω όψη του.

▪ Ρίχνεται ένα ζάρι και καταγράφεται η ένδειξη της άνω έδρας του.

▪ Διαλέγεται αυθαίρετα μια οικογένεια με δύο παιδιά και εξετάζεται ως προς το φύλο των παιδιών και τη σειρά γέννησής τους.

▪ Ρίχνεται ένα νόμισμα ώσπου να φέρουμε “γράμματα” αλλά όχι περισσότερο από τρεις φορές.

▪ Επιλέγεται τυχαία μια τηλεφωνική συνδιάλεξη και καταγράφεται η διάρκειά της.

▪ Γίνεται η κλήρωση του ΛΟΤΤΟ και καταγράφεται το αποτέλεσμα.

▪ Την παραμονή του Πάσχα, στις $5$ μ.μ., μετράται το μήκος της ουράς των αυτοκινήτων στα πρώτα διόδια της Εθνικής οδού Αθηνών-Λαμίας.

▪ Επιλέγεται τυχαία μια μέρα της εβδομάδος και μετράται ο αριθμός των τηλεθεατών που παρακολούθησαν το απογευματινό δελτίο ειδήσεων στην ΕΤ1.

▪ Επιλέγεται τυχαία μια ραδιενεργός πηγή και καταγράφεται ο αριθμός των εκπεμπόμενων σωματιδίων σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα.

Δειγματικός Χώρος

Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος(sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα $Ω$. Αν δηλαδή $ω_1,ω_2,...,ω_κ$ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο:

$Ω=\{ω_1,ω_2,...,ω_κ\}$.

Έτσι, στο πρώτο από τα παραπάνω πειράματα τύχης, αν με $Κ$ συμβολίσουμε το αποτέλεσμα να φέρουμε “κεφαλή” και με $Γ$ το αποτέλεσμα να φέρουμε “γράμματα”, τότε ο δειγματικός χώρος είναι $Ω=\{Κ,Γ\}$. Επίσης, στο δεύτερο από τα παραπάνω πειράματα τύχης η ένδειξη της άνω έδρας μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Επομένως, ο δειγματικός χώρος είναι $Ω=\{1,2,3,4,5,6\}$.

Ενδεχόμενα

Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο(event) ή γεγονός. Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού τα σύνολα, $B=\{1,3,5\}$ και $Γ=\{6\}$ είναι ενδεχόμενα. Το $Α$ είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό, το $Β$ να φέρουμε περιττό αριθμό και το $Γ$ να φέρουμε $6$. Είναι φανερό ότι ένα ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου. Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει περισσότερα στοιχεία. Για παράδειγμα, το $Γ$ είναι ένα απλό ενδεχόμενο, ενώ τα $Α$ και $Β$ είναι σύνθετα ενδεχόμενα. Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Γι’αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Έτσι, για παράδειγμα, το ενδεχόμενο $A=\{2,4,6\}$ έχει τρεις ευνοϊκές περιπτώσεις και πραγματοποιείται, όταν φέρουμε $2$ ή $4$ ή $6$.

Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος $Ω$ ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο $Ω$. Γι’αυτό το $Ω$ λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο $\oslash$ που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’αυτό λέμε ότι το $\oslash$ είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου $Α$ θα το συμβολίζουμε με $Ν(Α)$. Επομένως, αν $Ω=\{1,2,3,4,5,6\}$ και $A={2,4,6}$ έχουμε $N(Α)=3$, $N(Ω)=6$ και $Ν(\oslash)=0$.

Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας, της Α΄ Λυκείου.