▪ Διαφορικές εξισώσεις

ΟΡΙΣΜΟΣ

Διαφορική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή x, μια άγνωστη συνάρτηση y = f(x) και κάποιες από τις παραγώγους της yʹ,yʹʹ,....

Για παράδειγμα, οι εξισώσεις

yʹ = 2x ,

yʹ = 2y ,

yʹʹ + y = 0

είναι διαφορικές εξισώσεις.

Η μεγαλύτερη από τις τάξεις των παραγώγων που εμφανίζονται στην εξίσωση ονομάζεται τάξη της διαφορικής εξίσωσης. Έτσι οι εξισώσεις yʹ = 2x και yʹ = 2y είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, ενώ η yʹʹ + y = 0 είναι δευτέρας τάξεως.

Κάθε συνάρτηση y = f(x) που επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση λέγεται λύση της εξίσωσης.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = x² είναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης yʹ = 2x, αφού yʹ = (x²)ʹ = 2x.

Το σύνολο όλων των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται γενική λύση της εξίσωσης.

Ειδικές μορφές διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως είναι:

● Τις εξισώσεις με χωριζόμενες μεταβλητές και

● Τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Διαφορική εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής
α(y)·yʹ = β(x)	(1)
όπου y = f(x) η άγνωστη συνάρτηση, α(y) συνάρτηση του y και β(x) συνάρτηση του x.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής

y' + α(x)y = β(x) ,

όπου y = f(x) είναι η άγνωστη συνάρτηση και α(x), β(x) συναρτήσεις του x.