B΄ Λυκείου: Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2003

1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ πλευράς $\alpha$ και σημεία $\Delta ,{\rm E}$ και ${\rm Z}$ πάνω στις πλευρές ${\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm A}$ και ${\rm A}{\rm B}$ αντιστοίχως, τέτοια ώστε $\Delta \Gamma =\frac{1}{3}a$. Αν ${\rm E}$ είναι το μέσον της πλευράς ${\rm A}\Gamma$ και ${\rm A}{\rm Z}=\frac{3}{4}a$, να βρείτε τη γωνία $\mathrm{\angle }\Delta {\rm E}{\rm Z}$ 

2. Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με ${\rm B}\Gamma <{\rm A}{\rm B}<2{\rm B}\Gamma$. Στις πλευρές του ${\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma$ και $\Gamma \Delta$ παίρνουμε σημεία ${\rm M},{\rm P}$ και ${\rm N}$ αντιστοίχως, τέτοια ώστε 

${\rm M}{\rm B}=\Gamma {\rm P}=\Delta {\rm N}={\rm A}{\rm B}–{\rm B}\Gamma$. 

α) να βρείτε τη γωνία $\mathrm{\angle }{\rm P}{\rm A}{\rm N}$ 

β) να αποδείξετε ότι  $\mathrm{\angle }{\rm N}{\rm M}\Gamma >\frac{\pi }{4}$. 

Ε.Μ.Ε - Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2003