B΄ Λυκείου: Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2003

1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ΑΒΓ$ πλευράς $α$ και σημεία $Δ ,Ε$ και $Ζ$ πάνω στις πλευρές $ΒΓ, ΓΑ$ και $ΑΒ$ αντιστοίχως, τέτοια ώστε $ΔΓ = \frac{1}{3}a$. Αν $Ε$ είναι το μέσον της πλευράς $ΑΓ$ και $ΑΖ = \frac{3}{4}a$, να βρείτε τη γωνία $\angle{ΔΕΖ}$ 

2. Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $ΑΒΓΔ$ με $ΒΓ < ΑΒ < 2ΒΓ$. Στις πλευρές του $ΑΒ, ΒΓ$ και $ΓΔ$ παίρνουμε σημεία $Μ, Ρ$ και $Ν$ αντιστοίχως, τέτοια ώστε 

$ΜΒ = ΓΡ = ΔΝ = ΑΒ – ΒΓ$. 

α) να βρείτε τη γωνία $\angle{ΡΑΝ}$ 

β) να αποδείξετε ότι  $\angle{ΝΜΓ}>\frac{π}{4}$. 

Ε.Μ.Ε - Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2003