1. Έστω το οξυγώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $Α_1, Β_1$ δύο τυχαία σημεία πάνω στις πλευρές $ΒΓ$ και $ΑΓ$ αντιστοίχως. Έστω $(Ο_1)$ και $(Ο_2)$ οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ΒΑ_1Β_1$ και $ΓΑ_1Β_1$ αντιστοίχως. Αν η ευθεία $ΑΒ$ τέμνει τον κύκλο $(Ο_1)$ στο σημείο $Γ_1$ και η ευθεία $Γ_1Β_1$ τέμνει τον κύκλο $(Ο_2)$ στο σημείο $Δ$, να αποδείξετε ότι τα ορθόκεντρα των τριγώνων $ΑΒ_1Γ_1$ και $ΔΒ_1Γ$ είναι συνευθειακά με το σημείο $Β_1$.
2. Σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ (\angle{Α} > 90^0)$, φέρουμε την την κάθετη ημιευθεία $Αχ$ στην πλευρά $ΑΒ$ που τέμνει την πλευρά $ΒΓ$ στο σημείο $Δ$. Από το $Δ$ φέρουμε παράλληλη προς την πλευρά $ΑΓ$ που τέμνει την $ΑΒ$ στο $Η$ και τη διάμεσο $ΒΜ$ του τριγώνου $ΑΒΓ$ στο σημείο $Ε$. Από το Ε φέρουμε παράλληλη προς την πλευρά $ΑΒ$ που τέμνει την $ΒΓ$ στο σημείο $Ζ$. Να αποδείξετε ότι:
α) η $ΕΖ$ είναι διχοτόμος της γωνίας $ΑΖΔ$
β) $\angle{ΖΑΕ} = \angle{Γ}$.
Ε.Μ.Ε - Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 2003
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου