B΄ Λυκείου: Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 2001

1. Έστω ορθογώνιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με πλευρές ${\rm A}{\rm B}=\alpha$ και ${\rm B}\Gamma =\beta .{\rm A}\nu$Ε$\kappa \alpha \iota$Ζ4 είναι σημεία πάνω στις πλευρές ${\rm B}\Gamma$ και $\Gamma \Delta$ αντιστοίχως, τέτοια ώστε η περίμετρος του τριγώνου ${\rm E}\Gamma {\rm Z}$ να είναι $\alpha +\beta$ και η ${\rm A}{\rm Z}$ να είναι διχοτόμος της γωνίας $\Delta {\rm Z}{\rm E}$, να αποδείξετε ότι: 

α) $\alpha =\beta$
β) ${\rm E}{\rm A}{\rm Z}={45}^0$.

2. Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με $\mathrm{\angle }{\rm A}>{45}^0$ και $\mathrm{\angle }{\rm B}>{45}^0$. Στο εσωτερικό του τριγώνου κατασκευάζουμε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Delta (\mathrm{\angle }\Delta ={90}^0)$ και στο εξωτερικό του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ κατασκευάζουμε τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ${\rm B}\Gamma {\rm E}(\mathrm{\angle }{\rm E}={90}^0)$  και  ${\rm A}\Gamma {\rm Z}(\mathrm{\angle }{\rm Z}={90}^0)$. 

Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\Delta {\rm E}\Gamma {\rm Z}$ είναι παραλληλόγραμμο.

Ε.Μ.Ε - Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 2001