B΄ Λυκείου: Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 2000

1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ προεκτείνουμε την υποτείνουσα ${\rm B}\Gamma$ και παίρνουμε τμήμα $\Gamma \Delta ={\rm A}\Gamma$. Αν η διχοτόμος της γωνίας ${\rm B}$ τέμνει την ${\rm A}\Delta$ στο σημείο ${\rm E}$ και ο κύκλος $C$ με κέντρο το ${\rm A}$ και ακτίνα ${\rm A}{\rm E}$ τέμνει την ${\rm B}{\rm E}$ στο σημείο ${\rm Z}$, να αποδείξετε ότι η χορδή ${\rm Z}{\rm E}$ χωρίζει τον κύκλο $C$ σε δύο τόξα από τα οποία το ένα είναι τριπλάσιο του άλλου.

2. Έστω ευθύγραμμο τμήμα ${\rm A}{\rm B}=2$. Προς το ίδιο μέρος του ευθύγραμμου τμήματος ${\rm A}{\rm B}$ κατασκευάζουμε τα ισοσκελή τρίγωνα $\Gamma {\rm A}{\rm B},\Delta {\rm A}{\rm B}$ και ${\rm Z}{\rm A}{\rm B}$ με $\Gamma {\rm A}=\Gamma {\rm B},\Delta {\rm A}=\Delta {\rm B}$ και ${\rm Z}{\rm A}={\rm Z}{\rm B}$, έτσι ώστε $(\Gamma {\rm A}{\rm B})=1,(\Delta {\rm A}{\rm B})=1,({\rm Z}{\rm A}{\rm B})=1$. 

Να αποδείξετε ότι:                                                   

$\mathrm{\angle }{\rm A}{\rm Z}{\rm B}+\mathrm{\angle }{\rm A}\Delta {\rm B}=\frac{\pi }{2}$.

Ε.Μ.Ε - Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 2000