▪ 3ο Κριτήριο ομοιότητας τριγώνων

Θεώρημα (3ο Κριτήριο Ομοιότητας)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

Απόδειξη

Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ', ώστε

A'B'AB = Α'Γ'ΑΓ = Β'Γ'ΒΓ .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε Α'Β'

ΑΒ''ΑΒ = AΓ''ΑΓ = Β''Γ''ΒΓ ή A'B'AB = ΑΓ''ΑΓ = Β''Γ''ΒΓ .

Όμως από την υπόθεση έχουμε ότι

A'B'AB = Α'Γ'ΑΓ = Β'Γ'ΒΓ .

Επομένως προκύπτει ότι

ΑΓ''ΑΓ = Α'Γ'ΑΓ και Β''Γ''ΒΓ = Β'Γ'ΒΓ ,

οπότε ΑΓ'' = Α'Γ' και Β"Γ" = Β'Γ'. Άρα τα τρίγωνα ΑΒ''Γ'' και Α'Β'Γ' είναι ίσα γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α΄-Β΄ Λυκείου.