Πέμπτη 19 Ιουλίου 2012

▪ Πολυώνυμο $Ρ(x)$

Δίνεται το πολυώνυμο 
 $p(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$. 
Αν οι ρίζες της εξίσωσης $x^4 - x^3 - x^2 - 1 = 0$ είναι $a, b, c, d$, τότε 
$p(a) + p(b) + p(c) + p(d) = ?$
21st AIME2 2003
 
Αναρτήθηκε από στις 19.7.12
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. Dimitris17 Νοεμβρίου 2012 στις 7:48 μ.μ.

    Q(x) = x^4-x^3-x^2-1 = (x-1)(x^3-x^2+x-1)
    Άρα α = 1.
    Τα β,γ,δ είναι λύσεις του δεύτερου παράγοντα. Συνεπώς (β+γ+δ) = 2 και (βδ + γδ +βγ) = 1
    Το P(x) μπορεί να γραφεί ως
    P(x) = (x^3-2x^2+x-1)(x^3+x^2+x+1)+x^2-x+1
    Συνεπώς
    P(a)+P(b)+P(c)+P(d) = 3 + (γ^2+β^2+δ^2) - (δ+β+γ) + 3
    = 6 + 2 - 2 = 6

    ΔΔΛ_Β'

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)