Δίνεται το πολυώνυμο $$p(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x.$$
Αν οι ρίζες της εξίσωσης $x^4 - x^3 - x^2 - 1 = 0$ είναι $a, b, c, d$, τότε $$p(a) + p(b) + p(c) + p(d) = ?$$
21st AIME2 2003
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Q(x) = x^4-x^3-x^2-1 = (x-1)(x^3-x^2+x-1)
ΑπάντησηΔιαγραφήΆρα α = 1.
Τα β,γ,δ είναι λύσεις του δεύτερου παράγοντα. Συνεπώς (β+γ+δ) = 2 και (βδ + γδ +βγ) = 1
Το P(x) μπορεί να γραφεί ως
P(x) = (x^3-2x^2+x-1)(x^3+x^2+x+1)+x^2-x+1
Συνεπώς
P(a)+P(b)+P(c)+P(d) = 3 + (γ^2+β^2+δ^2) - (δ+β+γ) + 3
= 6 + 2 - 2 = 6
ΔΔΛ_Β'