ΟΡΙΣΜΟΣ
Όταν το $Α(x_0, f(x_0))$ είναι σημείο καμπής της $C_f$ , τότε λέμε ότι η $f$ παρουσιάζει στο $x_0$ καμπή και το $x_0$ λέγεται θέση σημείου καμπής. Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της $C_f $ "διαπερνά" την καμπύλη. Αποδεικνύεται, επιπλέον, ότι:
| Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α,β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0 . Αν |
| ● η f είναι κυρτή στο (α,x0) και κοίλη στο (x0,β) , ή αντιστρόφως, και |
| ● η Cf έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(x0, f(x0)), |
| τότε το σημείο Α(x0, f(x0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. |
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν το Α(x0, f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ʹʹ(x0) = 0.
Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος $Δ$ στα οποία η $f ʹʹ $ είναι διαφορετική από το μηδέν δεν είναι θέσεις σημείων καμπής. Επομένως, ο ι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης $f$ σ' ένα διάστημα $Δ$ είναι:
i) τα εσωτερικά σημεία του $Δ$ στα οποία η $f ʹʹ$ μηδενίζεται, και
ii) τα εσωτερικά σημεία του $Δ$ στα οποία δεν υπάρχει η $f ʹʹ$ (Σχ. 43).
Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση
Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R−{1} με
Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα:
Επειδή η $f ʹʹ$ μηδενίζεται στα σημεία $0$ και $2$, ενώ δεν υπάρχει στο $1$, οι πιθανές θέσεις των σημείων καμπής είναι τα σημεία $0, 1$ και $2$. Όμως, όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα και στο σχήμα, τα σημεία $1$ και $2$ δεν είναι θέσεις σημείων καμπής, αφού σ' αυτά η $f$ δεν αλλάζει κυρτότητα, ενώ το σημείο $0$ είναι θέση σημείου καμπής, αφού στο $Ο(0,0)$ υπάρχει εφαπτομένη της $C_f$ και η $f $στο $0$ αλλάζει κυρτότητα. Παρατηρούμε λοιπόν ότι από τις πιθανές θέσεις σημείων καμπής, θέση σημείου καμπής είναι μόνο το $0$, εκατέρωθεν του οποίου η $f ʹʹ$ αλλάζει πρόσημο. Γενικά:
| Έστω μια συνάρτηση f oρισμένη σ' ένα διάστημα (α,β) και x0 ϵ (α,β) . Αν |
| ● η f ʹʹ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 και |
| ● ορίζεται εφαπτομένη της Cf στο Α(x0, f(x0)), |
| τότε το Α(x0, f(x0)) είναι σημείο καμπής. |
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου