▪ Εσωτερικές και εξωτερικές διχοτόμοι γωνιών τριγώνου

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 

Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις εσωτερικές και εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του Β και Γ. Να αποδειχθεί ότι

(i) Η γωνία των δυο εσωτερικών διχοτόμων είναι ίση με 90° + A2 .

(ii) Η γωνία μίας εσωτερικής και μίας εξωτερικής διχοτόμου είναι ίση με A2.

(iii) Η γωνία των δυο εξωτερικών διχοτόμων είναι ίση με 90° - A2.

Απόδειξη Οι εσωτερικές διχοτόμοι τέμνονται στο έγκεντρο I. Οι εξωτερικές διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών Βκαι Γ τέμνονται στο παράκεντρο Ια και η εσωτερική διχοτόμος της Β με την εξωτερική διχοτόμο της Γτέμνονται στο παράκεντρο Ιβ. (i) Από το τρίγωνο ΒΙΓ παίρνουμε: ΒΙΓ + Β1 + Γ1 = 180° ή ΒΙΓ = 180° - Β1 - Γ1 ή ΒΙΓ = 180° - Β2 - Γ2 ή ΒΙΓ = 90° + 90° - Β2 - Γ2 ή ΒΙΓ = 90° + A2 (επειδή A2 + Β2 + Γ2 = 90°). (1)

(ii) Η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος μιας γωνίας τέμνονται κάθετα. Έτσι στο τρίγωνο ΙΓΙ_β είναι: Γ = 90° και ΒΙΓ = 90° + Ι_β (2) (ως εξωτερική γωνία).

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Ι_β = A2. (3)

(iii) Όμοια στο τρίγωνο I_αΒΙ_β είναι Β = 90°, οπότε Ι_α + Ι_β = 90° ή Ι_α = 90° - Ι_β . (4)

Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι Ι_α = 90° - A2 .
Από το βιβλίο της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου.