▪ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ (1) ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

F'(x) = f(x) ,   για κάθε   x ϵ Δ.

(1) Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα $\Delta$ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση $F(x)=x^3$ είναι μια παράγουσα της $f(x)=3x^2$ στο $R$, αφού $(x^3)ʹ=3x^2$.
Παρατηρούμε ότι και όλες οι συναρτήσεις της μορφής $G(x)=x^3+c=F(x)+c$, όπου $cϵR$, είναι παράγουσες της $f$ στο $R$, αφού $(x^3+c)ʹ=3x^2$.
Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:
ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε

● όλες οι συναρτήσεις της μορφής

G(x) = F(x) + c ,     c ϵ R ,

είναι παράγουσες της f στο Δ και

● κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή

G(x) = F(x) + c ,     c ϵ R .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

● Κάθε συνάρτηση της μορφής $G(x)=F(x)+c$, όπου $cϵR$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $\Delta$, αφού

$G^{\prime }(x)=(F(x)+c{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$, για κάθε $xϵ\Delta$.

● Έστω $G$ είναι μια άλλη παράγουσα της $f$ στο $\Delta$. Τότε για κάθε $xϵ\Delta$ ισχύουν $F^{\prime }(x)=f(x)$ και $G^{\prime }(x)=f(x)$, οπότε

$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)$, για κάθε $xϵ\Delta$.

Άρα, σύμφωνα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε

$G(x)=F(x)+c$, για κάθε $xϵ\Delta$. ■

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.