▪ Κοίλα - κυρτά συνάρτησης

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μία συνάρτηση f  σ υ ν ε χ ή ς  σ' ένα διάστημα Δ και  π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η  στο  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  του Δ. Θα λέμε ότι :

● Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f ʹ είναι γνησίως αύξουσα στο  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  του Δ.

● Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f ʹ είναι γνησίως φθίνουσα στο  ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  του Δ.

Εποπτικά, μία συνάρτηση $f$ είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα $Δ$, όταν ένα κινητό, που κινείται πάνω στη $C_f$ , για να διαγράψει το τόξο που αντιστοιχεί στο διάστημα $Δ$ πρέπει να στραφεί κατά τη θετική (αντιστοίχως αρνητική) φορά. (Σχ. 40)

Για να δηλώσουμε στον πίνακα μεταβολών ότι μια συνάρτηση $f$ είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό (αντιστοίχως ).

ΣΧΟΛΙΟ

Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση $f$ είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ' ένα διάστημα $Δ$, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ σε κάθε σημείο του $Δ$ βρίσκεται "κάτω" (αντιστοίχως "πάνω") από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.