▪ Ανισότητες

Αν $p,q >0$ και $p+q=1$, να αποδειχθεί ότι:

i)  $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\geq4$

ii) $(p+\frac{1}{p})^2+(q+\frac{1}{q})^2\geq\frac{25}{2}$.
Απόδειξη
i)

$1\geq4pq\Rightarrow\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\geq4$.

ii)

$2(p+\frac{1}{p})^2+2(q+\frac{1}{q})^2\geq(p+\frac{1}{p} + q+\frac{1}{q})^2\geq(1+4)^2 =25$