▪ Ανισότητες

Αν $p,q>0$ και $p+q=1$, να αποδειχθεί ότι:

i)  $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\ge 4$

ii) $(p+\frac{1}{p}{)}^2+(q+\frac{1}{q}{)}^2\ge \frac{25}{2}$.
Απόδειξη
i)

$1\ge 4pq\Rightarrow \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\ge 4$.

ii)

$2(p+\frac{1}{p}{)}^2+2(q+\frac{1}{q}{)}^2\ge (p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}{)}^2\ge (1+4{)}^2=25$