Επτά εξισώσεις

1) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$x^2+2mx+e^{m^2}=0,m\in \mathbb{R}$ 

δεν έχει καμμία πραγματική ρίζα. 

2) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$2013(e^{2x}-1)=2012(e^{2x}+1)$ 

έχει μια ακριβώς πραγματική ρίζα. 

3) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

${\displaystyle \frac{a}{x-l}}+{\displaystyle \frac{b}{x-m}}+{\displaystyle \frac{c}{x-n}}=0$

όπου $a,b,c>0$ και $l<m<n$, έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες.

4) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$e^x=(x+1{)}^2$

έχει τρεις ακριβώς πραγματικές ρίζες 

5) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x-2}}+{\displaystyle \frac{3}{x-3}}+{\displaystyle \frac{4}{x-4}}+2013=0$ 

έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες. 

6) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$tanx=x$ 

έχει άπειρες σε πλήθος πραγματικές ρίζες. 

7) Να λύσετε την εξίσωση 

${2013}^x-{2012}^x=1+3({2012}^{\frac{x}{3}}+{2012}^{\frac{2x}{3}})$ 

στο $[0,+\propto )$.

Πηγή: mathematica