Επτά εξισώσεις

1) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$x^2+2mx+e^{m^{2}}=0 , m\in\mathbb R$ 

δεν έχει καμμία πραγματική ρίζα. 

2) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$2013(e^{2x}-1)=2012(e^{2x}+1)$ 

έχει μια ακριβώς πραγματική ρίζα. 

3) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$\dfrac{a}{x-l}+\dfrac{b}{x-m}+\dfrac{c}{x-n}=0 $

όπου $a,b,c>0$ και $l< m<n$, έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες.

4) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$e^x=(x+1)^2 $

έχει τρεις ακριβώς πραγματικές ρίζες 

5) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{4}{x-4}+2013=0$ 

έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες. 

6) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$tanx=x$ 

έχει άπειρες σε πλήθος πραγματικές ρίζες. 

7) Να λύσετε την εξίσωση 

$2013^x-2012^x=1+3(2012^{\frac{x}{3}}+2012^{\frac{2x}{3}})$ 

στο $[0,+\propto)$.

Πηγή: mathematica