▪ Στρατηγική της μαθηματικής ανάλυσης των επιστολών Carathéodory

Του Νίκου Λυγερού

Μέσω της έκδοσης Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή 50 επιστολές προς συναδέλφους του στη Γοτττίγγη, έχουμε πρόσβαση και στο γερμανικό κείμενο και στην ελληνική μετάφραση. Όλες οι επιστολές του Carathéodory δεν αφορούν τα ίδια θέματα ακόμα και στον μαθηματικό τομέα. Συνεπώς υπάρχει ανάγκη όχι μόνο μαθηματικής ανάλυσης των περιεχομένων αλλά και συντονισμένης στρατηγικής. Θεωρούμε ότι οι εξής επιστολές πρέπει να αναλυθούν με ιδιαίτερη προσοχή όσον αφορά στο μαθηματικό τους περιεχόμενο.

· Προς Felix Klein: 

Cod. Ms. F. Klein 8, 463 (βλ. Opus 1587)

Cod. Ms. F. Klein 22A, Blatt 8

· Προς David Hilbert: 

Cod. Ms. D. Hilbert 55, 2

Cod. Ms. D. Hilbert 55, 4

Cod. Ms. D. Hilbert 55, 5

Cod. Ms. D. Hilbert 55, 7

· Προς Gustav Herglotz: 

Cod. Ms. G. Herglotz F 18, 6 (βλ. Opus 1589)

Cod. Ms. G. Herglotz F 18, 11

Όσο αυτές οι επιστολές είναι απλώς ενσωματωμένες σ’ έναν πιο γενικό κατάλογο, δεν μπορούν ν’ αναδείξουν όχι μόνο τη μαθηματική εμβέλεια του Carathéodory αλλά ούτε και το ύφος του σε αυτόν τον τομέα.

Στον Felix Klein (1849-1925), ο Carathéodory απαντά αποτελεσματικά στην ερώτησή του αναφορικά με τη θεμελιώδη περιοχή, εξετάζοντας τρεις περιπτώσεις. Και η τρίτη είναι ένα διπλό άνοιγμα που πρέπει να ερευνηθεί. Στη δεύτερη επιστολή δίνει μια συντομότατη απόδειξη στο ζήτημά του, κάνοντας χρήση μιας ιδιότητας που βρίσκεται στα Μαθήματα Ουράνιας Μηχανικής του Henri Poincaré (Leçons de Mécanique Céleste). Συνεπώς υπάρχει θέμα σύγκρισης.

Στον David Hilbert (1862-1943), ο Carathéodory εξηγεί ένα θεώρημα περί συμμόρφων απεικονίσεων, δίνοντάς του όλα τα συστατικά της τακτικής του και δύο εφαρμογές του. Πρέπει λοιπόν να εξεταστεί αν υπερκαλύπτει το θεώρημα του Cauchy. Στη δεύτερη επιστολή αναλύει προβλήματα που προκύπτουν από την εργασία του Hilbert περί στοιχειώδους θεωρίας της ακτινοβολίας που έρχεται σε σύγκρουση με τις αντιλήψεις των τότε φυσικών. Στην επόμενη επιστολή, αποδεικνύει ένα εύστοχο θεώρημα μέσω των συντελεστών Fourier. Λείπει όμως μια ανισότητα που μπορούμε ν’ ανακαλύψουμε. Σε μία άλλη επιστολή, κωδικοποιεί με συμπαγή τρόπο το θεώρημα του Gauss πράγμα το οποίο πρέπει ν’ αναδειχθεί ως σύστημα επαναγραφής.

Στον Gustav Herglotz (1881-1953), ο Carathéodory αποκαλύπτει έναν πιο κομψό τρόπο για την ολοκλήρωση του προβλήματος των δύο σωμάτων. Έτσι προκύπτει και πάλι θέμα σύγκρισης. Ενώ στην άλλη επιστολή του προβληματίζεται σχετικά με διαφορικές εξισώσεις ολικών διαφορικών. Πιο συγκεκριμένα γράφει: Sie müssen einen Trick benutzt haben, auf welchen ich nicht gekommenbin. Και πιο κάτω: Wie entscheidet man über das Vorzeichen ? Πρέπει λοιπόν να διερευνήσουμε και αυτό το θέμα εξετάζοντας και την επιστολή του Herglotz προς Carathéodory.

Ακόμη και αυτό το μικρό φάσμα των επιστολών του δίνει σοβαρές ενδείξεις ως προς τον τρόπο που είχε για να αντιμετωπίζει προβλήματα σε συνεργασία με άλλους μαθηματικούς. Κατά συνέπεια δεν αρκεί η απλή πρόσβαση στο κείμενο, χρειάζεται μια πραγματική μαθηματική ανάλυση.