▪ Μέσα δύο πλευρών τριγώνου

Θεώρημα I

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Απόδειξη

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι ΔΕ // = BΓ2 .

Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα EZ = ΔΕ. Το τετράπλευρο ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ = // ΓΖ, οπότε ΔΒ = // ΓΖ, αφού ΑΔ = ΔΒ. Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε:

(i) ΔΖ // ΒΓ άρα ΔΕ // ΒΓ και

(ii) ΔΖ // ΒΓ ή 2ΔΕ = ΒΓ ή ΔΕ = ΒΓ2 .
Από το βιβλίο της Γεωμετρίας, της Α΄ και Β΄ Λυκείου.