▪ Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή

Ας θεωρήσουμε τις γνωστές μας από το Γυμνάσιο συνεπαγωγές:

α = β ⇒ $α^2 = β^2$    (1)

και 

α = β ⇒ α + γ = β + γ     (2), 

που ισχύουν για όλους τους πραγματικούς α, β και γ. 

Παρατηρούμε ότι:

▪ Για την πρώτη συνεπαγωγή, δεν ισχύει το αντίστροφο. Δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή

 $α^2 = β^2$ ⇒ α = β για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β, αφού για παράδειγμα είναι $(-3)^2 = 3^2$, ενώ -3 ≠ 3.

▪ Για τη δεύτερη, όμως, συνεπαγωγή ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει και η συνεπαγωγή: 

α + γ = β + γ ⇒ α = β

Γι’ αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε:

     α = β ⇔ α + γ = β + γ.

Γενικά:

Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P, να αληθεύει και ο Q και όταν αληθεύει ο Q, να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο P είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε P ⇔ Q .

Ο ισχυρισμός « P ⇔ Q » λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «P αν και μόνο αν Q».

Από το σχολικό βιβλίο της Α΄ Λυκείου.