▪ Καρτέσιος εναντίον Ευκλείδη

Toυ Σωτήρη Χ. Γκουντουβά

Για τη ζωή του Ευκλείδη γνωρίζουμε με βεβαιότητα λίγα πράγματα. Η ακμή του τοποθετείται γύρω στο 300 π.Χ στην Αλεξάνδρεια, την εποχή της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (306-283 π.Χ). Εικάζεται ότι ήταν πρύτανης στο πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας, το ονομαζόμενο Μουσείο, και ότι είχε φοιτήσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα.

Τα περίφημα Στοιχεία του ήταν ένα έργο ορόσημο για την Γεωμετρία όπου, τα 13 βιβλία τους, περιελάμβαναν τα μαθηματικά επιτεύγματα τριών αιώνων ελληνικής επιστήμης, αρχής γενομένης από τον σοφό Θαλή τον Μιλήσιο (640-546 π.Χ).

Τα Στοιχεία περιείχαν 372 θεωρήματα και 93 προβλήματα (γεωμετρικές κατασκευές), δηλαδή 465 προτάσεις συνολικά. Το επίθετο “Ευκλείδεια” δόθηκε στην Γεωμετρία προς τιμήν του. Να σημειώσουμε ότι τα Στοιχείαέθεσαν στο περιθώριο προηγούμενες εκδόσεις έργων Γεωμετρίας, λόγω της καταφανούς ανωτερότητάς τους. Η μόνη ουσιαστική συμπλήρωση στην αξιωματική θεμελίωση των Στοιχείων έγινε από τον γερμανό μαθηματικό David Hilbert (1862-1943) το 1899 με το περίφημο έργο του Επί των θεμελίων της Γεωμετρίας(Grundlagen der Geometrie).

Ένα χαρακτηριστικό περιστατικό από τη ζωή του Ευκλείδη είναι το εξής. Kάποτε ο Πτολεμαίος Α΄ προσπαθώντας να μάθει Γεωμετρία από τα Στοιχεία ρώτησε τον Ευκλείδη αν υπάρχει πιο εύκολος τρόπος. Η απάντηση του Ευκλείδη έμεινε στην ιστορία, «Mή είναι βασιλικήν ατραπόν επί γεωμετρίαν », δηλαδή δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη γεωμετρία.

Η κομψότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι απαράμιλλη, όμως το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχει μια γενική μέθοδος για την επίλυση όλων των προβλημάτων.

Τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά κλείνουν τον κύκλο τους στους ελληνιστικούς χρόνους, τον 5ο μ.Χ αιώνα, στην Αλεξάνδρεια με τελευταία μεγάλη μαθηματικό την Υπατία, κόρη του μαθηματικού Θέωνα του Αλεξανδρινού. Η Υπατία μάλιστα βρήκε τραγικό τέλος το 412 μ.Χ από φανατισμένο όχλο χριστιανών υπό την καθοδήγηση του επισκόπου της Αλεξάνδρειας Κύριλλου, γιατί με τα μαθηματικά «καλλιεργούσε την ειδωλολατρία»!! 

Μεσολαβεί ένα μεγάλο χρονικό διάστημα περίπου 1000 ετών, όπου τα μαθηματικά δεν αναπτύχθηκαν ιδιαίτερα, και φτάνουμε στην Αναγέννηση. Η μεγάλη ώθηση στις θετικές επιστήμες ήταν η μελέτη και έκδοση των έργων - αριστουργημάτων αρχαίων Ελλήνων επιστημόνων όπως τα Κωνικά του Απολλωνίου, ταΑριθμητικά του Διοφάντου, διάφορα έργα του Αρχιμήδη και του Πτολεμαίου και πολλά άλλα. Κορωνίδα βέβαια αυτής της δραστηριότητας ήταν η έκδοση των Στοιχείων του Ευκλείδη. Η πρώτη έκδοσή τους έγινε στα λατινικά το 1596 στη Βασιλεία της Ελβετίας και έκτοτε ακολούθησαν πάρα πολλές εκδόσεις σε διάφορες χώρες και γλώσσες.

Το 1637 ο Γάλλος μαθηματικός και φιλόσοφος Καρτέσιος, Rene Descartes (1596-1650) εκδίδει στα γαλλικά την περίφημη Γεωμετρία του (La Géométrie) που ήταν παράρτημα στο φιλοσοφικό του έργο “Discoursde la Methode” (Περί της μεθόδου λόγος). Σ’ αυτή, που σήμερα καλούμε Αναλυτική Γεωμετρία, χρησιμοποιούνται εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις ευθειών γραμμών και καμπυλών και γίνεται εκτεταμένη χρήση άλγεβρας για τη λύση γεωμετρικών προβλημάτων. Το έργο αυτό του Καρτεσίου έμεινε στην ιστορία ως η Μέθοδος (La Methode) και επέκτεινε τους ορίζοντες και τις δυνατότητες της παραδοσιακής Ελληνικής Γεωμετρίας. 

Ίχνη χρήσης συντεταγμένων υπήρχαν στα έργα Αλεξανδρινών Γεωμετρών, όπως στα Κωνικά του Απολλωνίου, στη Γεωγραφική Υφήγηση του Κλαύδιου Πτολεμαίου και, σαφώς περισσότερο, στη Μαθηματική Συναγωγή του Πάππου που γίνεται χρήση άλγεβρας, όμως το πιστοποιητικό γέννησης της Αναλυτικής Γεωμετρίας είναι το έργο του Καρτεσίου.

Ο Καρτέσιος κλείνει την Geometrie ως εξής:

«Δεν είναι ο σκοπός μου να γράψω ένα μεγάλο βιβλίο. Προσπαθώ μάλλον να εισάγω πολλά με λίγα λόγια. ... Ελπίζω ότι εκ των υστέρων θα με κρίνουν ευγενικά, όχι μόνο για τα θέματα που έχω εξηγήσει αλλά και για αυτά που έχω σκόπιμα παραλείψει για να αφήσω και σε άλλους την ευχαρίστηση της ανακάλυψης.» (Géométrie, σ. 413).

Πιθανώς η βασιλική οδός για τη Γεωμετρία να βρέθηκε, δυστυχώς για τον Πτολεμαίο, ύστερα από 2000 χρόνια περίπου. Στη συνέχεια θα δούμε μερικά προβλήματα λυμένα με ευκλείδεια και αναλυτική γεωμετρία.