Το πολυώνυμο $W(x) = x^2 +ax +b$ με ακέραιους συντελεστές έχει την ακόλουθη ιδιότητα: Για κάθε πρώτο αριθμό $p$ υπάρχει ένας ακέραιος $k$ τέτοιος ώστε τόσο το πλυώνυμο $W(k)$ όσο και το $W(k +1)$ να διαιρούνται με τον $p$.
Δείξτε ότι υπάρχει ακέραιος $m$ τέτοιος ώστε
$W(m) = W(m +1) = 0$.
Poland National Mathematical Olympiad 2004
a^3+b^3+c^3+d^3=4d^4 (1)
ΑπάντησηΔιαγραφήa^4+b^4+c^4+d^4=4a^4 (2)
a^5+b^5+c^5+d^5=4b^5 (3)
Από ανισότητα των δυνάμεων και λόγω των (1),(2),(3), έχω:
b>=a>=d>=(a+b+c+d)/4 (4)
(4), άρα d>=c (5)
(4), (5), άρα 3b^5>=a^5+c^5+d^5, η οποία για να ισχύει πρέπει a=b=c=d. !!!
a^3+b^3+c^3+d^3=4d^3 (1)
ΑπάντησηΔιαγραφήa^4+b^4+c^4+d^4=4a^4 (2)
a^5+b^5+c^5+d^5=4b^5 (3)
Από ανισότητα των δυνάμεων και λόγω των (1),(2),(3), έχω:
b>=a>=d>=(a+b+c+d)/4 (4)
(4), άρα d>=c (5)
(4), (5), άρα 3b^5>=a^5+c^5+d^5, η οποία για να ισχύει πρέπει a=b=c=d. !!!