Κυριακή 11 Μαρτίου 2012

▪ abcd

Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις ισότητες:
Να αποδειχθεί ότι .
Poland National Mathematical Olympiad 2004
Αναρτήθηκε από στις 11.3.12
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. Στέλιος Πετρούπολη11 Μαρτίου 2012 στις 11:05 μ.μ.

    a^3+b^3+c^3+d^3=4d^4 (1)
    a^4+b^4+c^4+d^4=4a^4 (2)
    a^5+b^5+c^5+d^5=4b^5 (3)
    Από ανισότητα των δυνάμεων και λόγω των (1),(2),(3), έχω:
    b>=a>=d>=(a+b+c+d)/4 (4)
    (4), άρα d>=c (5)
    (4), (5), άρα 3b^5>=a^5+c^5+d^5, η οποία για να ισχύει πρέπει a=b=c=d. !!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Στέλιος Πετρούπολη11 Μαρτίου 2012 στις 11:07 μ.μ.

    a^3+b^3+c^3+d^3=4d^3 (1)
    a^4+b^4+c^4+d^4=4a^4 (2)
    a^5+b^5+c^5+d^5=4b^5 (3)
    Από ανισότητα των δυνάμεων και λόγω των (1),(2),(3), έχω:
    b>=a>=d>=(a+b+c+d)/4 (4)
    (4), άρα d>=c (5)
    (4), (5), άρα 3b^5>=a^5+c^5+d^5, η οποία για να ισχύει πρέπει a=b=c=d. !!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)