Τετάρτη 28 Μαρτίου 2012

▪ 64 = 65 ?

Παράδοξο.
Αναρτήθηκε από στις 28.3.12
Ετικέτες

2 σχόλια:

  1. Ανώνυμος28 Μαρτίου 2012 στις 6:02 μ.μ.

    Στο δεύτερο σχήμα, η υποτείνουσα του πράσινου τριγώνου και η κεκλιμένη πλευρά του ανοικτού καφέ τραπεζίου δεν έχουν την ίδια κλίση ως προς την οριζόντια.
    Αντίστοιχα και στο κίτρινο τρίγωνο με το σκούρο καφέ τραπέζιο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Papaveri28 Μαρτίου 2012 στις 8:22 μ.μ.

    Το παράδοξο του Hoper
    Ναι, είναι δυνατόν. Από τη γεωμετρία γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου ισούται με το μήκος της μιας πλευρά του επί της άλλης πλευράς του. Ε = α*α α2. Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμου ισούται με το μήκος της βάσεως επί το ύψος του
    Ε=α*β, οπότε έχουμε:
    Ετετρ.= α2 = 8*8 = 64
    Εορθ.παραλ. = α*β = 5*13 = 65
    Άρα 8*8 = 5*13 --> 64 = 65 ο.ε.δ.
    Η απάντηση σε αυτό το φαινομενικό παράδοξο είναι πως τα κομμάτια που αναδιατάσσουε για να φτιάξουμε το ορθογώνιο δεν εφάπτονται ακριβώς μεταξύ τους κατά μήκος της μεγάλης διαγωνίου. Μένει ανάμεσά τους ένας κενός χώρος.Το εμβαδόν αυτού του κενού χώρου ισούται με το εμβαδόν ενός μικρού τετραγώνου.
    Η παρακάτω ανάλυση αφορά τη γενίκευση αυτής της εφαρμογής. Το ίδιο φαινόμενο θα παρατηρούταν και στην περίπτωση που κόβαμε με τον ίδιο τρόπο ένα χαρτόνι με διαστάσεις 13 x 13 και το αναδιατάσσαμε σε ένα ορθογώνιο 21 x 8. Τώρα όμως το αρχικό τετράγωνο έχει 169 τετραγωνάκια ενώ το νέο oρθογώνιο έχει 168. Δηλαδή στην περίπτωση αυτή λείπει αντί να περισσεύει ένα τετράγωνο. Αυτό γεωμετρικά οφείλεται στο ότι τα κομμάτια του ορθογωνίου τώρα επικαλύπτονται κατά μήκος της μεγάλης διαγωνίου. Ας δούμε πως αναλύεται μαθηματικά κάθε περίπτωση αυτής της εφαρμογής. Πίσω της κρύβεται μια πολύ γνωστή ακολουθία στους μαθηματικούς με το όνομα ακολουθία Fibonacci. Κάθε όρος αυτής της ακολουθίας είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων της, αρχίζοντας με τους όρους 0 και 1. Έτσι, οι πρώτοι όροι της ακολουθίας Fibonacci είναι οι: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
    Συμβολίζουμε με F(n) τον n-οστό όρο της ακολουθίας Fibonacci, αρχίζοντας την αρίθμηση από n=0. Έτσι π.χ. F(6) = 8. Τώρα παρατηρούμε πως όλες οι φαινομενικά παράδοξες κατασκευές είναι τετράγωνα με διαστάσεις F(n) x F(n) και αναδιατάσσονται σε ορθογώνια με διαστάσεις F(n+1) x F(n-1). Το εμβαδόν του νέου σχήματος διαφέρει από το αρχικό πότε κατά -1 και πότε κατά +1 τετραγωνάκι, ανάλογα με το n. Αυτό μαθηματικά γράφεται ως εξής:
    F(n+1) x F(n-1) - F(n) x F(n) = (-1)n, μια ισότητα που είναι γνωστή σαν ταυτότητα Cassini και η οποία αποδεικνύεται μαθηματικά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)