▪ Γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος (Θεώρημα αμβλείας γωνίας)

Θεώρημα

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή.

Αν δηλαδή σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ (σχ.11) είναι π.χ. A > 1∟ και ΑΔ η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, τότε ισχύει

α² = β² + γ² + 2β ∙ ΑΔ.

Απόδειξη

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΒΓ και ΔΒΑ, παίρνουμε αντίστοιχα:

α² = ΔΒ² +ΔΓ² και ΔΒ² = γ² -ΑΔ² .

Επειδή A > 1∟ , το Δ βρίσκεται στην προέκταση της ΓΑ προς το Α και επομένως ΔΓ = β+ΑΔ οπότε

ΔΓ² = (β + ΑΔ)² = β² + ΑΔ² + 2β ∙ ΑΔ.