ΘεώρημαΤο τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μίας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή.
Δηλαδή σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, που έχει τη γωνία Α αμβλεία ισχύει:
Δηλαδή σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, που έχει τη γωνία Α αμβλεία ισχύει:
α2 = β2 + γ2 - 2β∙ΑΔ
Απόδειξη
Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΒΓ, ΔΒΑ έχουμεα2 = ΔΒ2 +ΔΓ2 και ΔΒ2 = γ2 - ΑΔ2.
• αν Γ < 1∟ το Δ είναι μεταξύ των Α, Γ (σχ.10α), οπότε ΔΓ = β-ΑΔ.
• αν Γ < 1∟ το Δ είναι μεταξύ των Α, Γ (σχ.10α), οπότε ΔΓ = β-ΑΔ.
• αν Γ > 1∟ το Γ είναι μεταξύ των Α, Δ (σχ.10β), οπότε ΔΓ = ΑΔ-β.
Από τις δύο τελευταίες ισότητες προκύπτει ότι
ΔΓ2 =(β-ΑΔ)2 = β2 +ΑΔ2 -2β∙ΑΔ.
Με αντικατάσταση αυτής της σχέσης και της ΔΒ2 = γ2 - ΑΔ2 στην α2 = ΔΒ2 + ΔΓ2 προκύπτει ότι
α2 = γ2 - ΑΔ2 + β2 + ΑΔ2 -2β∙ΑΔ = β2 + γ2 -2β∙ΑΔ,
δηλαδή η ζητούμενη ισότητα.
α2 = γ2 - ΑΔ2 + β2 + ΑΔ2 -2β∙ΑΔ = β2 + γ2 -2β∙ΑΔ,
δηλαδή η ζητούμενη ισότητα.
• αν τέλος Γ =1∟, το Δ συμπίπτει με το Γ και το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΒ δίνει α2 = γ2 - β2 που γράφεται:
α2 = β2 + γ2 -2β∙ΑΔ, αφού ΑΔ = β.
α2 = β2 + γ2 -2β∙ΑΔ, αφού ΑΔ = β.
Πηγή: Σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α και Β Λυκείου.
