▪ Θεωρία συνόλων

Η θεωρία συνόλων ξεκίνησε µε τις εργασίες του Georg Cantor το 1894. (Υπάρχουν στην βιβλιοθήκη, µεταφρασµένες στα αγγλικά, στις εκδόσεις Dover, µε τίτλο Contributions to the foundation of the Theory of Transfinite Numbers). 

Η πρώτη αξιωµατική θεµελίωση της θεωρίας των συνόλων δόθηκε από τον Zermelo το 1908. Στα αξιώµατα αυτά, περιλαµβάνεται και το αξίωµα της επιλογής. Η τελική µορφή των αξιωµάτων αυτών δόθηκε από τους Fraenkel και Scolem το 1922. Η εισαγωγή των αξιωµάτων αυτών από τον Zermelo, έγινε στην προσπάθειά του να αντιµετωπίσει τις αντινοµίες που προέκυψαν µέσα στην θεωρία των συνόλων, και που ήταν γνωστές ήδη από το 1879 (αντινοµία Burali-Forti). Η αντινοµία αυτή µελετήθηκε από τον Russell, από τον οποίο και διατυπώθηκε στην παρακάτω µορφή: Όπως είδαµε, υπάρχουν σύνολα, τα οποία είναι ισοδύναµα προς κάποιο υποσύνολό τους. Ας θεωρήσουµε εµείς, το “σύνολο” όλων των συνόλων, (το παριστάνουµε µε S), που δεν είναι ισοδύναµα προς κάποιο υποσύνολό τους. Μπορούµε άραγε να θεωρούµε ένα τέτοιο σύνολο; Η απάντηση είναι αρνητική.

Πράγµατι, το S είτε θα είναι ένα σύνολο που είναι ισοδύναµο προς κάποιο υποσύνολό του, είτε δεν θα είναι κάποιο τέτοιο σύνολο. Στην α) περίπτωση, που το S είναι ισοδύναµο προς κάποιο υποσύνολό του, η σχέση S ⊆ S οδηγεί σε άτοπο, µια και το S είναι εξ ορισµού το σύνολο όλων των συνόλων, που δεν είναι ισοδύναµα προς κάποιο υποσύνολό τους. Στην περίπτωση β), που το S είναι ένα σύνολο που δεν είναι ισοδύναµο προς κανένα υποσύνολό του, οδηγούµεθα και πάλι σε άτοπο, µια και το S θα έπρεπε να περιέχεται στο S, λόγω ακριβώς του τρόπου µε τον οποίο ορίσαµε το S. Οι Russell και Whitehead παρατήρησαν ότι ο ορισµός των συνόλων εκείνων που οδηγούν σε αντινοµίες, καταστρατηγεί την αρχή του “Φαύλου Κύκλου”. Σύµφωνα µε την αρχή αυτή, ένα στοιχείο, του οποίου ο ορισµός απαιτεί το σύνολο των στοιχείων ενός συνόλου, δεν είναι δυνατόν να ανήκει στο σύνολο. Οι Russell και Whitehead για να αποφύγουν την αρχή αυτή, επινόησαν την Θεωρία των Τύπων, η οποία εκτίθεται εν εκτάσει στο σύγγραµµά τους Principia Mathematica.