▪ Σημειώσεις: Σύνολα

Tου Πέτρου Κρικέλη
Προλεγόµενα

Σε ότι ακολουθεί, ο αναγνώστης θα έρθει σε επαφή µε έννοιες από την Μαθηµατική Λογική, την Θεωρία Συνόλων, και την Άλγεβρα. Σύµφωνα µε την Πλατωνική αντίληψη του Κόσµου, οι έννοιες αυτές θεωρούµε ότι  προϋπάρχουν και ότι δεν είναι κενές περιεχοµένου. Μία οντότης για µας εδώ, είναι το περιεχόµενο µιάς έννοιας.

Το ενδιαφέρον µας θα επικεντρώνεται στις σχέσεις που αναπτύσσονται ανάµεσα στις οντότητες που θεωρούµε.Έτσι, τα ερωτήµατα που θέτουµε, είναι του τύπου “τι ιδιότητες έχει κάτι” και όχι του τύπου “τι είναι κάτι”. για παράδειγµα, δεν θέτουµε το ερώτηµα “τι είναι η µονάς” αλλά “τι ιδιότητες θα πρέπει να έχει κάποια οντότης, για να την ονοµάσουµε µονάδα”. Τις οντότητες τις σηµειώνουµε µε σύµβολα. Προσοχή όµως! Το ίδιο σύµβολο χρησιµοποιείται συχνά για να σηµειώσει διαφορετικές οντότητες.

Ενδιαφερόµεθα συνεπώς, για τον προσδιορισµό σχέσεων µεταξύ συµβόλων, των οποίων την ύπαρξη δεχόµεθα, και για την εξαγωγή συµπερασµάτων, τα οποία θα αφορούν τα σύµβολά µας, και µόνον αυτά, και τα οποία συµπεράσµατα θα στηρίζονται στις παραπάνω σχέσεις και στην αποδεκτή λογική. Το σύνολο των αρχικά χρησιµοποιουµένων συµβόλων και σχέσεων καλείται  Αξιωµατικό σύστηµα. Εφόσον στα χρησιµοποιούµενα σύµβολα επισυνάπτουµε οικείες έννοιες θα λέµε ότι, το σύνολο αυτών των εννοιών, αποτελεί ένα  µοντέλο το οποίο αναπαριστά το αξιωµατικό µας σύστηµα. Επειδή, τώρα, µε ορισµένα µοντέλα έχουµε µεγάλη οικειότητα, τα σύµβολα του αξιωµατικού µας συστήµατος λαβαίνουν ονοµασίες, που εµπνέονται από το ιδιαίτερο αυτό µοντέλο. 

 Ένα αξιωµατικό σύστηµα πρέπει να είναι:  

α)  Συµβατό. Μέσα σ’ αυτό, δηλαδή, δεν υπάρχει ζεύγος αντιφατικών προτάσεων, που να µπορούν και οι δύο να εξαχθούν µε την αποδεκτή λογική, από τα αξιώµατα του συστήµατος. 

β)  Ανεξάρτητο.  Τούτο σηµαίνει, ότι το σύνολο των αρχικών σχέσεων,  που καλούνται και αξιώµατα (= αιτήµατα) του συστήµατος, δεν παρουσιάζουν πλεονασµούς. Κανένα δηλαδή αξίωµα δεν προκύπτει, µε την αποδεκτή λογική, από τα υπόλοιπα. 

γ) Πλήρες. Τούτο σηµαίνει ότι, για κάθε σχέση που γράφεται για τα σύµβολά µας, είµαστε σε θέση να αποφανθούµε αν και κατά πόσον η σχέση αυτή  συνάγεται από προτάσεις του αξιωµατικού µας συστήµατος.

Κάντε κλικ εδώ για να διαβάσετε περισσότερα.