▪ Κανονικά πολύεδρα

Ένα πολύεδρο λέγεται κανονικό όταν όλες οι έδρες του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Από τον ορισμό αυτό προκύπτει ότι όλες οι ακμές ενός κανονικού πολυέδρου είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες. Από τα πολύεδρα που εξετάσαμε έως τώρα, κανονικά ήταν το κανονικό τετράεδρο και ο κύβος. Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε όλα τα κανονικά πολύεδρα που μπορούν να κατασκευασθούν.

Για το πλήθος των κορυφών Κ, των ακμών Α και των εδρών Ε ενός πολυέδρου, ισχύει το θεώρημα του Euler:

Ένα κανονικό πολύεδρο έχει έδρες που είναι κανονικά πολύγωνα και έστω ν ο αριθμός των πλευρών κάθε έδρας. Οι Ε έδρες έχουν συνολικά νΕ πλευρές, οι οποίες ανά δύο ταυτίζονται για να δώσουν μία ακμή του πολυέδρου, άρα οι ακμές είναι:

Επίσης, κάθε έδρα του κανονικού πολυέδρου έχει ν κορυφές και το σύνολο των επίπεδων γωνιών όλων των εδρών του είναι νΕ.
Θεωρούμε ότι αυτές ενώνονται ανά μ για να δώσουν μία στερεά γωνία του κανονικού πολυέδρου, που αντιστοιχεί σε κάθε κορυφή του. Επομένως οι κορυφές είναι

Αντικαθιστώντας τα Α και Κ στην (1) από τις (2) και (3), έχουμε

Αναζητούμε λοιπόν φυσικούς αριθμούς μ, ν και Ε που να ικανοποιούν τη σχέση (4), λαμβάνοντας υπόψη ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι θετικός αριθμός και οι έδρες πρέπει να είναι περισσότερες από τρεις. Οι λύσεις που ικανοποιούν όλες αυτές τις συνθήκες είναι οι εξής:

• Για ν=3 το μ παίρνει τις τιμές μ=3, 4, 5 και το Ε=4, 8, 20 αντίστοιχα, δηλαδή με τρίγωνα σχηματίζεται το κανονικό τετράεδρο, οκτάεδρο και εικοσάεδρο.

• Για ν=4 τότε μ=4 και Ε=6, δηλαδή με τετράγωνα σχηματίζεται μόνο ο κύβος.

• Για ν=5 τότε μ=3 και Ε=12, δηλαδή με κανονικά πεντάγωνα σχηματίζεται μόνο το κανονικό δωδεκάεδρο.

Αυτές είναι οι μόνες λύσεις που επιδέχεται η σχέση (4), επομένως υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα, που λέγονται και Πλατωνικά στερεά. Μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα, στη Σχολή του Πυθαγόρα και ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων όπου αποδεικνύει ότι αυτά είναι ακριβώς πέντε (βλ. σχετικό ιστορικό σημείωμα). Στο σχ. 50 εικονίζονται τα πέντε κανονικά πολύεδρα και δίπλα το ανάπτυγμά τους. Τα κανονικά πολύεδρα είναι εγγράψιμα και περιγράψιμα σε σφαίρα. Δηλαδή υπάρχει εσωτερικό σημείο Ο, που είναι κέντρο δύο σφαιρών, αυτής που περνάει από όλες τις κορυφές του κανονικού πολυέδρου και αυτής που εφάπτεται όλων των εδρών, στα κέντρα τους.
Πηγή: Σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας Α και Β Λυκείου.