Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια οικογένεια ευθειών (παραµετρική εξίσωση ευθείας) ΠΕΡΝΑ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ δηλ. αποτελεί ∆ΕΣΜΗ ΕΥΘΕΙΩΝ εργαζόµαστε µε έναν από τους παρακάτω τρόπους: 1ος τρόπος:
∆ίνουµε δύο τιµές στην παράµετρο (συνήθως τέτοιες ώστε να µηδενίζεται κάποιος συντελεστής) και έτσι επιλέγουµε δύο από τις ευθείες της οικογένειας. Βρίσκουµε στη συνέχεια το σηµείο τοµής τους, και ελέγχουµε αν οι συν/νες του επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας των ευθειών. Αν την επαληθεύουν, τότε έχουµε δέσµη ευθειών µε κέντρο το σηµείο τοµής που προσδιορίσαµε πιο πάνω. Αν δεν την επαληθεύουν δεν έχουµε δέσµη ευθειών.
2ος τρόπος:
∆ίνουµε δύο τιµές στην παράµετρο (συνήθως τέτοιες ώστε να µηδενίζεται κάποιος συντελεστής) και έτσι επιλέγουµε δύο από τις ευθείες της οικογένειας. Βρίσκουµε στη συνέχεια το σηµείο τοµής τους, και ελέγχουµε αν οι συν/νες του επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας των ευθειών. Αν την επαληθεύουν, τότε έχουµε δέσµη ευθειών µε κέντρο το σηµείο τοµής που προσδιορίσαµε πιο πάνω. Αν δεν την επαληθεύουν δεν έχουµε δέσµη ευθειών.
2ος τρόπος:
∆ιαµορφώνουµε την παραµετρική εξίσωση της ευθείας έτσι ώστε στο πρώτο µέλος να έχουµε πολυώνυµο ως προς λ και στο δεύτερο µέλος 0. Επειδή τώρα αυτή η σχέση πρέπει να ισχύει για κάθε τιµή της παραµέτρου, πρέπει όλοι οι συντελεστές του πολυωνύµου αυτού να είναι µηδέν. Η λύση του συστήµατος που προκύπτει (αν έχει λύση) είναι το κέντρο της δέσµης των ευθειών. Αν το σύστηµα είναι αδύνατο, τότε δεν έχουµε δέσµη ευθειών.
Σηµείωση:
Όµοια εργαζόµαστε και όταν αντί για οικογένεια ευθειών, έχουµε οικογένεια κύκλων ή άλλων καµπυλών.
Σηµείωση:
Όµοια εργαζόµαστε και όταν αντί για οικογένεια ευθειών, έχουµε οικογένεια κύκλων ή άλλων καµπυλών.
Aris Nikolaidis
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου