▪ Ισοσταθμικές καμπύλες

Έστω συνάρτηση z = f(x, y). Θεωρούμε ένα επίπεδο Π, με εξίσωση z = c, το οποίο τέμνει την γραφική παράσταση της f. (Προφανώς το Π είναι παράλληλο προς το xy - επίπεδο και ο αριθμός |c| προσδιορίζει την απόσταση του Π απ'αυτό.)

Η τομή του Π με την επιφάνεια z = f(x, y), θα είναι μια καμπύλη στο χώρο, η οποία έχει για σημεία της , όλα τα σημεία (x, y, z) για τα οποία ισχύει: z = f(x, y) και z = c. Δηλαδή θα είναι όλα τα σημεία (x, y, c) για τα οποία f(x,y) = c. Προβάλλουμε την καμπύλη αυτή πάνω στο xy - επίπεδο. Η προβολή της, θα είναι μια καμπύλη που θα έχει για σημεία της, όλα τα σημεία (x, y, 0) για τα οποία ισχύει f(x, y) = c. Με άλλα λόγια θα είναι μια καμπύλη στο xy - επίπεδο στα σημεία της οποίας η f παίρνει σταθερή τιμή c. Καμπύλες αυτού του τύπου θα τις ονομάζουμε ισοσταθμικές καμπύλες της f.

Ερώτηση:

Τι είδους καμπύλες είναι οι ισοσταθμικές των παρακάτω συναρτήσεων;

i) f(x, y) = x²+ y², ii) f(x, y) = y²-x², iii) f(x, y) = 4 - x - 2y
iv) f(x, y) = xy, v) f(x, y) = x²/9 + y²/4
Απαντήσεις (i, ii, iii, iv, v)
Παρατήρηση: 

Όπως είδαμε και προηγουμένως, οι ισοσταθμικές καμπύλες μιας συνάρτησης αποτελούν ουσιαστικά την αποτύπωση της γραφικής της παράστασης στο xy-επίπεδο. Επομένως αυτές μπορούν να μας φανούν χρήσιμες στο να βγάζουμε συμπεράσματα για την μορφή που θα έχει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Πηγή: aueb.gr