Το επίπεδο χωρίζεται σε περιοχές από ένα πεπερασμένο αριθμό ευθειών που ανά τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. Δύο περιοχές ονομάζονται ′′γειτονικές′′ αν η τομή των συνόρων τους είναι είτε ευθύγραμμο τμήμα, είτε ημιευθεία, είτε ευθεία(ένα σημείο δε θεωρείται ευθύγραμμο τμήμα). Ένας ακέραιος αριθμός τοποθετείται σε κάθε περιοχή με τον παρακάτω τρόπο:
(i) το γινόμενο των ακεραίων που τοποθετούνται σε οποιεσδήποτε δύο γειτονικές περιοχές είναι μικρότερο από το άθροισμά τους.
(ii) για κάθε μια από τις δοσμένες ευθείες και καθένα από τα δύο ημιεπίπεδα που αυτή ορίζει, το άθροισμα των ακεραίων που τοποθετούνται σε όλες τις περιοχές που βρίσκονται σε καθένα από τα δύο ημιεπίπεδα ξεχωριστά, είναι ίσο με το μηδέν.
Να αποδείξετε ότι αυτή η τοποθέτηση των ακεραίων είναι δυνατή αν και μόνο αν οι ευθείες δεν είναι όλες παράλληλες.
21η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ BMO 2004
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου