Τετάρτη 20 Απριλίου 2022

Putnam Training Problem [2]

Ο αριθμός
διαιρείται με το 11 ?
Αναρτήθηκε από στις 20.4.22
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. papadim24 Απριλίου 2022 στις 9:20 μ.μ.

    Νομίζω ναι.
    Από τις δυνάμεις του 10 με ακέραιο θετικό εκθέτη, όσες έχουν περιττό εκθέτη είναι ισότιμες 10 mod11 και όσες έχουν άρτιο εκθέτη είναι ισότιμες 1 mod11.
    Οι δυνάμεις του 5 με ακέραιο θετικό εκθέτη, είναι κατά σειρά ισότιμες 5,3,4,9,1,5,3,4,9,1,... mod11.
    Για να είναι επομένως το άθροισμα μιας δύναμης του 10 και μιας δύναμης του 5 διαιρετό με το 11, πρέπει ο εκθέτης μ του 10 να είναι περιττός (να έχουμε δηλαδή 10^μ = 10 mod11) και ταυτόχρονα ο εκθέτης ν του 5 να είναι πολλαπλάσιος του 5 (για να έχουμε 5^ν = 1 mod11).
    Στην προκείμενη περίπτωση, τόσο
    ο μ = [(5^10)^5]^10 είναι περιττός (αφού είναι δύναμη του 5), όσο και
    ο ν = [(10^5)^10]^5 είναι πολλαπλάσιος του 5 (αφού είναι δύναμη του 10).
    Επομένως ο 10^μ+5^ν διαιρείται με το 11.

    Χριστός Ανέστη, Χρόνια πολλά και καλά σε όλους τους φίλους!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. papadim25 Απριλίου 2022 στις 1:30 μ.μ.

      Πιο σωστά νομίζω:
      μ = 5^(10^(5^10))
      ν = 10^(5^(10^5))
      Κατά τα λοιπά, δεν αλλάζει κάτι.

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)